imparator

1.4. Aritmetik Ortalamanın Özellikleri
Aritmetik ortalama çeşitli matematiksel özelliklere sahiptir. Bunları basit seri formülleri yardımıyla ispatlayalım.

1.Özellik : Aritmetik ortalamanın terim sayısı ile çarpımı seri toplamına eşittir.


x = ∑ xi
n
eşitliğin her iki tarafını n ile çarparsak

n x = n∑ xi
n

olur.Buradan da

n x = ∑ xi
sonucuna ulaşılır.

2.Özellik : Terimlerin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının toplamı sıfırdır.

∑ ( xi – x ) = ∑ xi – nx
şeklinde parantez kaldırıldıktan sınra, eşitliğin sağ tarafındaki ∑ xi yerine eşiti olan nx 1.özelliğe göre konulabilir. Böylece

∑ xi – nx = nx – nx

ve dolayısıyla
∑ ( xi – x ) = 0
olur.
Bu özellik bir yandan ortalama sapmanın mutlak farklarla hesaplanması zorunluluğunu yaratırken, öte yandan regresyon ve korelasyon çözümlemesinde hesaplama kolaylığı sağlamaktadır.

3.Özellik : Terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimumdur.
Söz konusu toplamın, terimlerin diğer herhangi bir değerden (sözgelimi P’den) sapmaların kareleri toplamından daha küçük olması da aynı anlamı taşır.

∑ ( xi – P )² = ∑ [ ( xi – x ) + ( x – P )]²
= ∑ ( xi – x )² + 2 ( x – P ) ∑ ( xi – x ) + n ( x – P )²

2.özelliğe göre,

∑ ( xi – x ) = 0
olduğu için,

∑ ( xi – P )² = ∑ ( xi – x )² + n ( x – P )²

eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte ( x – P )² ve dolayısıyla n ( x – P )² pozitif olduğuna göre,

∑ ( xi – P )² > ∑ ( xi – x )²
olacaktır.

4.Özellik : Bir serinin bütün terimlerine aynı sayıyı eklersek (çıkartırsak) aritmetik ortalama eklenen (çıkartılan) sayı kadar artar (azalır).
Terimlere K sayısını eklediğimizi varsayalım. Bu durumda yeni serinin terimleri xi+K şeklinde ifade edilecektir. Bunların aritmetik ortalamasını bulalım.

∑ (xi + K) = ∑ xi + nK = x + K
n n

Terimlerden K sayısını çıkartsaydık,

∑ (xi – K) = ∑ xi – nK = x – K
n n

olurdu.

5.Özellik : Bir serinin bütün terimlerini aynı sayıyla çarptığımızda (böldüğümüzde) aritmetik ortalama çarptığımız (böldüğümüz) sayıyla orantılı olarak büyür (küçülür).
Terimleri L sayısıyla çarptığımızı varsayalım. Bu durumda yeni serinin terimleri Lxi olacaktır. Bunların aritmetik ortalamasını bulalım.

∑ Lxi = L∑ xi = Lx
n n

Terimleri L sayısına bölseydik,
xi 1
∑ L = L∑ xi = 1 x = x
n n L L


olurdu.

6.Özellik : Aritmetik ortalama çok duyarlı bir ortalamadır.
Çünkü serinin bütün terimleri aritmetik ortalamayı etkiler. Hele seride aşırı değerler bulunuyorsa bundan aritmetik ortalama çok etkilenir ve dolayısıyla temsili olma niteliğini kaybeder.
7.Özellik : İki serinin bütün terimleri karşılıklı olarak toplanarak (çıkartılarak) elde edilen serinin aritmetik ortalaması bu serilerin aritmetik ortalamalarının toplamına (farkına) eşittir.


∑ (xi + yi) = ∑ xi + ∑yi = ∑ xi + ∑ yi = x + y
n n n n

∑ (xi – yi) = ∑ xi – ∑yi = ∑ xi – ∑ yi = x - y
n n n n

Bütün bu özellikleri aşağıdaki örnek üzerinde açıklayalım.

ÖRNEK :

Bu serinin aritmetik ortalaması x = 30 / 5 = 6’ya eşittir. Aritmetik ortalamanın terim sayısı ile çarpımı 6 (5) = 30’dur. Bilindiği gibi, 30 ise seri toplamıdır.
Terimlerin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının toplamı aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi 0’a eşittir.



Terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı ile yine terimlerin diğer herhangi bir değerden (sözgelimi P = 7’den) sapmalarının kareleri toplamını kıyaslayalım.



Xi – X ( Xi – X )² Xi – X (Xi – X )²
3-6 = -3 9 3-7 = -4 16
4-6 = -2 4 4-7 = -3 9
5-6 = -1 1 5-7 = -2 4
7-6 = +1 1 7-7 = 0 0
11-6 = +5 25 11-7 = +4 16
40 45
Bu durum terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamının minimum olduğunu göstermektedir.
Serinin bütün terimlerine bir defa 3 sayısını ekleyelim, bir defa da bütün terimlerden 2 sayısını çıkartalım.

Xi Xi + 3 Xi – 2
3 6 1
4 7 2
5 8 3
7 10 5
11 14 9
Toplam 30 45 20
Ortalama 6 9 4

Görüldüğü gibi, bütün terimlere 3 sayısı eklendiğinde aritmetik ortalama da 3 artmakta, buna karşılık bütün terimlerden 2 çıkartıldığında aritmetik ortalama 2 azalmaktadır.
Şimdi de serinin bütün terimlerini bir defa 3 sayısıyla çarpalım, bir defa da 2 sayısıyla bölelim.

Xi 3Xi Xi / 2
3 9 1,5
4 12 2,0
5 15 2,5
7 21 3,5
11 33 5,5
Toplam 30 90 15,0
Ortalama 6 18 3,0

Serinin bütün terimlerini 3 sayısıyla çarptığımızda ortalama 3 katına yükselmiş, buna karşılık 2 sayısıyla bölünen terimler aynı ortalamayı yarısı düzeyine indirmiştir.
Bu defa serinin son terimini değiştirelim ve 11 yerine 111 sayısını koyalım.

Xi Xi
(Eski) (Yeni)
3 3
4 4
5 5
7 7
11 111
Toplam 30 130
Ortalama 6 26

Görüldüğü gibi, seriden son terimin çıkartılması ve yerine aşırı bir değerin konulması ortalamayı aşırı ölçüde etkilemektedir.
Nihayet aşağıdaki xi ve yi serilerinin terimlerini karşılıklı olarak bir defa toplayalım, bir defa da çıkartalım.


Xi Yi Xi + Yi Xi - Yi
18 10 28 8
25 16 41 9
39 24 63 15
42 27 69 15
56 43 99 13
Toplam 180 120 300 60
Ortalama 36 24 60 12

Görüldüğü gibi, 36 + 24 = 60 ve 36 – 24 =12 eşitlikleri sağlanmıştır.
Aritmetik ortalama yukarıdaki özellikleri dolayısıyla matematiksel işlemlere çok elverişlidir. Ayrıca hesabı kolay ve anlamı açık olduğundan uygulamada en çok yararlanılan ortalama niteliğini kazanmıştır. Nitekim ortalama denildiğinde akla hemen aritmetik ortalama gelir. Aritmetik ortalamayı sakıncalı kılan bazı nedenler bulunduğunda ise, başka bir ortalama üzerinde durmak gerekir.


1.5. Aritmetik Ortalamanın Kısa Yoldan Hesaplanışı

Aritmetik ortalaması hesaplanacak dağılımda terim sayısı fazla ve terimler büyük rakamlarsa, (1-1) veya (1-2) numaralı formüllerden faydalanmak uygun olmaz; sözü edilen durumda, terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamının sıfıra eşitliği özelliğinden faydalanılır. Aritmetik ortalamayı bu özelliğe dayanarak kısa yoldan hesaplayabilmek için terimler arasından aritmetik ortalamaya en yakın değer aldığı düşünülen ve x0 simgesiyle gösterilen terim geçici ortalama olarak benimsenir. Geçici ortalama genellikle en büyük sıklığa sahip terimdir. Dağılım terimlerin benimsenen geçici ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamı sıfırsa,

x0 = x olur.
Eğer terimlerin aritmetik ortalamadan olan sapmalarının cebirsel toplamı sıfırdan farklıysa, düzeltme etkeni kullanılarak gerçek ortalamaya ulaşılır; ilgili işlemler aşağıda aşamalar halinde açıklanmıştır.
İncelenen dağılımın her teriminin geçici ortalamadan olan sapmasının bölüm aralığına oranı aşağıdaki gibi gösterilecektir:

ui = xi – x0
c