imparator

3.3. M**** Özellikleri

M**** matematiksel olmayan bazı özellikleri vardır. Bunlara kısaca değinelim.

1. Özellik : Ortalamalar arasında mod en temsili olanıdır. Çünkü kütledeki birimlerin önemli bir kısmına değerce uyar. Oysa daha önce incelediğimiz ortalamaların hiç birinde bu özellik yoktur.
2. Özellik : Sınıflanmış serilerde m**** tam sayı karakterinde olması gerçeğin daha iyi yansıtılmasını sağlar. Örneğin, bir bölgede yaşanan ailelerin ortalama çocuk sayısı duyarlı ortalamalardan herhangi biriyle hesaplanıldığında 3,16 çocuk gibi garip bir rakamla karşılaşılabilir. Buna karşılık, mod hesaplanmış olsa mutlaka 3, 4 vb. gibi bir tam sayı elde edilecektir. Bölgedeki ailelerin ortalama çocuk sayısının 3 olduğunu söylemenin 3,16 olduğunu söylemekten daha anlamlı olacağı açıktır.
3. Özellik : Mod anormal terimlerin etkisi altında kalmaz. Çok zengin bir kişinin köye taşındığını varsayalım. Köyün ortalama gelir düzeyi mod belirlendiğinde, bu kişinin geliri (anormal terim) serinin ucunda yer alacağı için, hesaplama dışı kalır ve modu etkilemez.
4. Özellik : Mod uygulamada farkına varılmadan en çok başvurulan ortalamalardan biridir. Örneğin, kundura ve hazır giyim eşyası üretiminde en çok satılan numaralar ve bedenler dikkate alınır ki, bu, mod hesabı anlamını taşır.

3.4. Modla İlgili Tamamlayıcı Bilgiler

Doruk değer şimdiye kadar incelenen tüm ortalamalar içinde en az duyarlı
olanıdır; dağılımdaki çok büyük ve çok küçük değerlerden etkilenmez, bu bakımdan sözü edilen dağılımlarda aritmetik ortalamanın yerine kullanılabilen bir ortalamadır. Doruk değer ekonomik olaylarda en çok uygulanan ortalamadır. Buna




4. Medyan

4.1. Tanım

Bir serideki bütün değerleri küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralayarak
bir dizi teşkil edersek, tam ortadaki yani seriyi iki eşit frekansa sahip kısma ayıran değer, medyan (ortanca) olarak tanımlanmaktadır. Özellikle çok büyük ve çok küçük değerlerin de bulunduğu serilerde medyan aritmetik ortalamaya kıyasla seriyi daha iyi temsil edebilmektedir. Medyanı bir frekans eğrisinin alanını iki eşit parçaya bölen çizgiye tekabül eden X değeri olarak da tarif etmek mümkündür. Şayet seride çift sayıda değer varsa tam ortadaki iki değerin ortalaması medyan olarak kabul edilir. Çok sayıda değerden meydana gelen süreksiz serilerde

N + 1
2
formülü yardımıyla medyanın kaçıncı sırada olduğu tespit edilir. Bu formülde N serideki gözlem sayısını (toplam frekans) ifade etmektedir. Tek veya çift sayıda değere sahip süreksiz seriler için aynı formül kullanılır.
Örneğin 8 değere sahip bir seride,

8 +1 = 4.5’inci sıradaki değer medyan olacaktır.
2
Sürekli serilerde ise N/2 formülü ile medyan değerinin kaçıncı sırada bulunduğu tespit edilmektedir. Gruplanmış serilerde bir sınıfın bittiği yerden diğeri başladığından seri sürekli olarak kabul edilir ve aynı formül tatbik edilir. Önce tasnif edilmiş daha sonra gruplanmış serilerde medyanın nasıl hesaplandığını görelim:

Tasnif edilmiş serilerde N + 1 formülüne dayanarak medyanın kaçıncı birim olduğunu
2
hesapladıktan sonra frekanslar sütunu yukarıdan aşağıya doğru kümüle edilerek medyanın hangi X değerine tekabül ettiği kolayca anlaşılabilir.

Örnek : Aşağıdaki tabloda tasnif edilmiş bir serinin meydanının hesaplanması görülmektedir:


X Değerleri Frekanslar n Kümülatif frekans
5 2 2
6 4 6
7 6 12

8 3 15
9 1 16
16

N + 1 = 16 + 1 = 8.5
2 2
Medyan 8.5’uncu sırada olacağından değeri 7’dir.

Guplanmış serilerde medyanın yerini kolayca tayin etmek mümkün ise de değerini
bulmak diğer serilere kıyasla daha güçtür. Gruplanmış serilerde de önce frekanslar kümüle edilerek medyanın hangi sınıf içinde bulunduğu tespit edilir. Bu sınıfa medyan sınıfı denir. Daha sonraki işlemleri bir örnekle açıklayalım:

Örnek : Bir işletmede çalışan işçilerin saat başına aldıkları ücretlerin bölünmesi aşağıdaki gibidir. Medyan işçinin ücreti nedir?

Saat ücreti TL. İşçi sayısı n Kümülatif frekanslar

0 – 200’den az 8 8
200 – 400’den az 11 19

400 – 600’den az 7 26
600 – 800’den az 6 32
∑n = 32

Seri sürekli ve gruplanmış olduğundan medyan N / 2 = 32 / 2 = 16’ıncı sıradaki birimdir ve 200-400’den az sınıfının içinde bulunmaktadır.
Medyan sınıfı içindeki değerlerin sınıf içinde eşit aralıklarla dağılmış olduğu varsayımından hareket edersek bu sınıf içindeki değerler arasında 200 / 11 = 18 TL’lik aralıklar olacağını söyleyebiliriz. Bundan sonra toplam frekansı 2’ye ayıran 16’ncı birimin bu sınıf içinde kaçıncı olduğunu bulmak gerekir. Bu, 16 – 8 = 8’inci birimdir ve değeri şöyle hesaplanır:

Med = 200 + (16 – 8) x 200/11
= 1600/11 + 200
= 345.45
Diğer bir deyimle medyan (16’ıncı) işçinin saat ücreti 345 TL’dir. Buna dayanarak medyanın genel formülünü yazabiliriz:


m - 1
N - ∑ ni
Med = l1 + 21 . Sm
nm

Bu formülde:

l1 = medyan sınıfının alt hududu

N = frekanslar toplamının yarısı
2

m-1
∑ ni = medyan sınıfından önceki sınıfların frekanslarının toplamı
1

nm = medyan sınıfının frekansı

Sm = medyan sınıfının aralığı

olarak belirlenmiştir.

Görüldüğü gibi medyanın hesaplanmasında aritmetik ortalamada olduğu gibi sınıf aralıklarının eşit olması zorunluluğu yoktur. Medyanın diğer önemli bir özelliği serideki değerlerin medyandan sapmalarının mutlak toplamının minimum olmasıdır.

∑* *׀Xi – Med׀ = minimum