[Meric]

n ve r birer doğal sayı ve 0 £r £1 olmak üzere n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinden her birine A kümesinin r li bir kombinasyonu denir ve A kümesinin r li kombinasyonlarının tümünün sayısı, C(n,r) veya şeklinde gösterilir.

Kombinasyon gruplandırma (küme oluşturma) olduğundan n elemanının r li her bir permütasyonu, aynı kombinasyondan (aynı kümeden) oluşturuluyor demektir. O halde, n elemanın r elemanlı tüm permütasyonları, n elemandan oluşturulan r li grubun (kümenin) elemanlarının sıralanmasıyla oluşturulur. Buna göre n eleman içinden r elemanlı bir grup oluşturulduktan sonra (birinci iş) bu r elemanının sıralanmaları (ikinci iş), n’ nin r-li permütasyonlarını meydana getirir.

Permütasyonda sıra önemlidir, kombinasyonda sıranın önemi yoktur.Örneğin; A, B, C, D ile gösterilen nesnelerden üç tanesinin sıraya göz önüne almadan seçmek, ABC, ABD, ACD, BCD gibi 4 farklı biçimde yapılabilir.Bu seçimde sıra önemli olmadığından ABC, ACB, CAB, CBA, BAC, BCA seçimleri aynıdır.Buna göre 4 nesnenin üçer üçer sıralanmasından elde edilen sıralanış sayısı 4 tür.

Teorem:
n tane nesnenin r-li kombinasyonlarının sayısı:
C(n,r) = =
İspat:
n nesnesinin r tanesini alalım: Her seçim için r! Kadar farklı sıralanış vardır.Bu durumda, r tane nesnenin permütasyonları sayısı:
r! . C(n,r) dir.Buna göre,
r! . C(n,r) = P(n,r) =è C(n,r)=
A={ 1 , 2 , 3 } kümesi verilmiş olsun.{ 1 } , {3 } gibi elemanlı, { 1 , 4 } , { 2 , 3 } ... gibi iki elemanlı, { 1 , 3 , 4 } gibi üç elemanlı kümeler A nın kombinasyonlarıdır.
A nın tüm 1 elemanlı kombinasyonlarının sayısı:
C( 1 , 4 )===4 tanedir ve { 1 } { 2 } { 3 } { 4 } olur. 2 elemanlı kombinasyonları sayısı C( 4 , 2 ) = 6 dır. Ve

{ 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 1 , 4 } , { 2 , 3} , { 3 , 4 } olur.(Burada, kombinasyonlar için sıra değişimi önemli olmadığından, { 1 , 2 } ve { 2 , 1 } sıralı ikililerden yalnızca biri alınmaktadır). 3 elemanlı kombinasyonların sayısı: C(4,3)=4tür. { 1 , 2 , 3 } , { 1 , 2 , 4 } , { 1 , 3 , 4 } , { 2 , 3 , 4 }. A nın 4 elemanlı kombinasyonlarının sayısı:
C( 4 , 4 )= 1 ve { 1 , 2 , 3 , 4 } tür.
Kombinasyonla İlgili Bazı Özellikler

1. C( n , r ) = C(. n , n-r )
2. C( n , 0 ) = C( n, n ) = 1
3. C( n , 1 ) = C( n , n-1 ) = n
4 =2n
dir. 1., 2. ve 3. özelliklerin varlığı kolayca gösterilebilir.4. özelliğin ispatını yazalım.
Teorem:
nÎN olmak üzere n elemanlı sonlu bir kümenin bütün alt kümelerinin sayısı 2n dir.

0 elemanlı alt kümelerin sayısı =
1 elemanlı alt kümelerinin sayısı=
2 elemanlı alt kümelerinin sayısı=
.... .... ....
n elemanlı alt kümelerinin sayısı=
olduğundan, tüm alt kümelerinin sayısı ,

dir.Diğer taraftan binom teoreminden
( x + y )n = idi. X=1 ve y=1 değerleri bu eşitlikte yerlerine koyulursa,
bulunur.



Sonucu belli olmayan durumları anlatırken, bir tahmin yaparız: ”Yarın hava yağmurlu olabilir,“ ”Futbol maçının ertelenme olasılığı var“ gibi. Bir madeni paranın bir kez havaya atılması deneyini düşünelim.Bu deney sonucuna yazı (Y) ya da tura (T) gelir.Deneyin sonucu belli değildir.Fakat deneyde ortaya çıkacak tüm sonuçlar bellidir. (Bir madeni para atma deneyinde Y ya da T gelmesi, ”futbol maçı oynanır ya da ertelenir“ gibi sonuçlardan birinin ortaya çıkacağı önceden bilinir). Buradan olasılığın kesin olmayan ya da rastlantı olaylarla uğraştığını söyleyebiliriz. Rastlantı olayı, gerçekleşmesi şansa bağlı olan önceden kesinlikle bilinmeyen olaylardır.

Deney sözcüğünü belli koşullar altında tekrar edilebilen her hangi bir işlemi belirtmek için, kullanacağız.

Bir zar atma deneyinde 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 numaralı yüzlerin üste gelmesi aynı şansa sahiptir. Günlük konuşmamızda ”3 numaralı yüzün üste gelmesi şansı 6 da 1 dir.“ ifadesi yerine, ”3 numaralıyüzün üste gelmesi olasılığı dır.“ denir. Matematiksel sembollerle,
P( 3 numaralı yüzün üste gelmesi ) =
yazılır. P(...) sembolünü, bir olayın veya bir sonucun olasılığını göstermek için kullanacağız. Bir deney sonucunda bulunabileceklere çıktılar diyelim.Burada, zarın atılmasında 3 numaralı yüzün üste gelmesi bir çıktıdır.






Bir deneyde elde edilebilecek tüm çıktıların kümesine örneklem uzayı denir ve E sembolü ile gösterilir.Örneklem uzayın bir elemanına ise örneklem nokta denir.

Bir deneyde örneklem uzayı belirtmek çok önemlidir; ama örneklem uzayı belirtmek için kesin bir kural yoktur.

Bir madeni paranın arka arkaya 3 kez havaya atılması deneyinde en az iki kez yazı gelmesi olayını bulalım:
Deneye ait örnek uzay,
E={( Y , Y , Y ) , ( Y , Y , T ) , ( Y , T , Y ) , ( T , Y , Y ) , ( Y ,T ,T ) ,
( T , Y , T ) , ( T , T , Y ) , ( T , T , T )}
dir. İstenen olay A ile gösterilirse,
A={( Y , Y , Y ) , ( Y , Y , T ) , ( Y , T , Y ) , ( T , Y , Y ) olacaktır.
Madeni paranın iki yüzü olduğu için havaya arka arkaya yapılan atışlarda nÎN+ için,
1. atışa ait çıktıların sayısı 21
2. atışa ait çıktıların sayısı 22
3. atışa ait çıktıların sayısı 23
... ... ... ...
n. atışa ait çıktıların sayısı 2n
dir. Böyle olduğunu örneklerden görebiliriz.



Örneklem uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E örneklem uzayına ise kesin olay denir.

Bir madeni parayı arka arkaya iki kez havaya atalım.Bu deneyde örneklem uzayı, E={( Y , Y ) , ( Y , T ) , ( T , Y ) , ( T , T )} dir. Her iki atışta da yazı gelmesi bir olaydır. Bu olay A={( Y , Y )} dır. İki atışta bir yazı iki tura gelmesi olayı, imkansız olay dır.

Bir torbada 1 den 5 e kadar numaralı 5 top vardır.Bu torbadan rasgele seçilen bir topun numarasının 6 dan küçük olması kesin olay dır.


E bir örneklem uzayı ve A,B Ì E olsun. A Ç B = Æ ise A ve B olaylarına ayrık olaylar denir.
Bir madeni paranın arka arkaya iki kez atılışında paranın iki kez yazı ve iki kez tura gelmesi olaylarını karşılaştıralım:
E={( Y , Y ) ,( Y , T ) , ( T , Y ) , ( T , T )}
A={( Y , Y )} B={( T , T )} A Ç B = Æ bulunur.






Bir E uzayının tüm alt kümelerinin kümesi EA ile gösterelim.Tanım kümesi EA değer kümesi, { cïcÎR ve 0 £c£ 1 } olan ve aşağıdaki aksiyomları sağlayan, her P fonksiyonuna EA üzerinde bir olasılık fonksiyonudur denir.

1. Aksiyom: A Ì EA için 0 £ P(A) £ 1 ‘dir.
2. Aksiyom: P(E)=1 ‘dir
3. Aksiyom: A, B Î EA için,
A Ç B = Æ ise; P(AÈB)=P(A)+P(B) dir.

Tanım: m,r Î N+ , E={e1 , e2 , e3 , .... , en }eş olumlu örneklem uzay ve r £ m olmak üzere E de bir olay A={e1 , e2 , e3 , .... , en } ise,

oranına, A olayının olasılığı denir.

Teorem:
E bir örneklem uzayı, A ve B, E de herhangi iki olay olsun.
1. P(Æ)=0
2. A Ì B ð P(A) £ P(B)
3. A nın E ye göre tümleyeni Aı ise P(A) + P(Aı) = 1
4. P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

İspat:
1. A ÈÆ = A olduğundan, 3. aksiyoma göre,
P (A) = P(A ÈÆ) = P(A) + P(Æ) ð P(Æ) = 0 dir.
2. A Ì B olsun. B kümesini ayrık iki kümenin birleşimi olarak yazalım: B=A È (B Ç Aı). Aksiyom3 ve 1 den P(B)=P(A)+P(BÇAı ) ³ P(A) bulunur.

Bir sınıfta 20 kız ve 30 erkek öğrenci vardır. 15 kız ve 20 erkek öğrencinin saçları siyahtır. Seçilen bir öğrencinin kız ve siyah saçlı olma olasılığını hesaplayalım:

A={seçilen öğrencinin kız olması}
B={seçilen öğrencinin siyah saçlı olması} olaylarının tanımlayalım. Buna göre;

AÇB={seçilen öğrencinin kız ve siyah saçlı olması}
olayıdır.Her öğrencinin seçilme şansı eşit olduğundan,

P(A)=,P(B)=P(A Ç B)=dır. Buradan,
P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)= + - =
çıkar.





Bir E örneklem uzayında bir A olayının ortaya çıkması, bir B olayına bağlı ise böyle olaylara bağımlı olaylar denir. B olayına bağlı A olayının olasılığına A nın koşullu olasılığı denir ve P(A/B) biçiminde yazılır.B koşuluna bağlı A olayının olasılığıdiye okunur.

Bir örnek yardımıyla koşullu olasılık için bir formül bulmaya çalışalım:
İki parayı birlikte atma deneyinde bir veya daha fazla yazı geldiği bilindiğine göre, ikinci paranın tura gelme olasılığı sorulabilir. A={ İkinci paranın tura gelmesi} olayları olsun.
E={( Y , Y ) , ( Y , T ) , ( T Y ) , (T , T )}, A={( Y , T ) , ( T , T )}
B={( Y , T ) , ( Y , Y ) , ( T , Y )} A ÈB={( T , Y )} dır.
O halde, P(A/B) olasılığı, B olayının gerçeklendiği bilindiğinde (yani B olayı bir örneklem uzayı olarak düşünülürse), AÇB olayının gerçeklenmesi olasılığına eşittir. s(B)=3 ve s(AÇB)=1 olduğundan, B(indirgenmiş) örneklenmiş uzayına göre,
P(A/B)=
olur. O halde, E örneklem uzayında B olayının gerçeklendiği bilinirse, A nın gerçeklenmesi olasılığının,

P(A/B)= P(B) ¹ 0
olduğu görülür.E örneklem uzayına göre,
P(A/B)=,P(B)=
olduğundan,
P(A/B)=
bulunur. E örneklem uzayında A olayının gerçeklendiği bilinirse, B olayının gerçeklenme olasılığı da,

P(B/A)=, P(A) ¹ 0





Bu kısımda,ortaya çıkmaları birbirine bağlı olmayan olayları inceleyeceğiz. Bu durum olasılık konusunda önemli yer tutar. Bir zarın havaya atılmasında 1,2,3,4,5,6 numaralı yüzlerinden gelmesi olaylarından biri, diğerlerinin sonucuna bağlı değildir.

İki veya daha çok olayın, ortaya çıkmaları birbirine bağlı değilse, böyle olaylara bağımsız olaylar denir. A ve B olayları bağımsız ise,

P( A Ç B ) = P( B ) ve P( B / A ) = P( B ).dir.Buradan.
P( A Ç B ) = P( A ) . P( B )

elde edilir. Buna göre, P( A Ç B ) = P( A ) . P( B )ise, A ve B olayları bağımsızdır.
Bağımsız olaylarla, ayrık olayları birbirine karıştırmamak gerekir. Ayrık olayların ortak noktaların yoktur. Bağımsız olayların olasılıkları sıfırdan farklı ise, ortak noktaları vardır.

Bir torbada 5 mavi, 7 kırmızı bilye vardır. Torbadan 1 bilye çekiliyor. Çekilen bilye yeniden torbaya konup ikinci bilye çekiliyor. Birincinin mavi , ikincinin kırmızı bilye olma olasılığını bulalım:

Birincinin mavi olma olasılığı : P( M ) =
İkincinin mavi olma olasılığı : P( K ) =
olduğundan aranan olasılık,

P(M Ç K) = P( M ) . P( K ) =