aritmetik ve geometrik diziler seriler | |
ARITMETIK ve GEOMETRIK DIZILER, SERILER
Aritmetik Dizi
TANIM
Ardisik iki terimin arasindaki fark, ayni sabit bir sayi olan dizilere aritmetik dizi denir. Diger bir ifadeyle ( n ( N+ için, an+1 – an = d olacak sekilde bir d ( R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayisina da ortak fark denir.
ÖRNEK
(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi oldugunu gösteriniz. Ortak farkini bulunuz.
an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduguna göre (an), ortak farki d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.
GENEL TERIM
Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farki d = 1 olan bir aritmetik dizidir.
5
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
................................
an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir.
Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir.
ÖRNEK
Ilk terimi 8 ve ortak farki 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?
a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d
an = 8 + (n – 1) 2
an = 2n + 6’dir.
ARITMETIK DIZININ ÖZELLIKLERI
Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir.
p - k
ÖRNEK
39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farki kaçtir?
a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)
d = (22 – 19)/6
d = ½’ dir.
a ve b gibi iki sayi arasina n tane terim yerlestirilerek olusturulan aritmetik dizinin ortak farki :
d = b – a dir.
n + 1
ÖRNEK
- 8 ve 28 sayilari arasina 8 tane terim yerlestirilerek olusturulan aritmetik dizinin ortak farki kaçtir?
a = -8, b = 28 ve n = 8 olduguna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4
Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplami Sn ile gösterilirse,
Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da
2
Sn = n (a1 + an) olur.
2
Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden esit uzaklikta iki terimin kendisinden esit uzakliktaki iki terimin aritmetik ortalamasina esittir. |