Kutupsal denklemler
Kutupsal koordinatlar ile ifade edilmiş bir eğri denklemi "kutupsal denklem" olarak bilinir ve genellikle r, θ'nın bir fonksiyonu olarak yazılır.
Kutupsal denklemler değişik simetri (
"Simetri" sayfasını değiştirmektesiniz - Vikipedi) biçimleri gösterebilir. Bir eğri,
eğer r(−θ) = r(θ) ise 0°/180° yatay ışınına göre,
eğer r(π−θ) = r(θ) ise 90°/270° dikey ışınına göre ve
eğer r(θ−α) = r(θ) ise saat yönünün tersinde, rotasyonel (dönel) olarak kutup noktasına göre α° kadar simetrik olacaktır.[11] (
Kutupsal koordinat sistemi - Vikipedi (
Resim:Circle r=1.PNG - Vikipedi)
http://tr.wikipedia.org/skins-1.5/co...gnify-clip.png (
Resim:Circle r=1.PNG - Vikipedi)
r(θ) = 1 denklemi ile verilmiş çember
Çember
Merkezi (r0, φ) noktasında ve yarıçapı a olan herhangi bir çemberin (
Çember - Vikipedi) genel denklemi şu şekildedir:
http://upload.wikimedia.org/math/5/5...81935fe4e6.png Bu denklem özel durumlar için çeşitli yollarla basitleştirilebilir. Örneğin
http://upload.wikimedia.org/math/1/8...a7853f47db.png , merkezi kutup noktasında ve yarıçapı a olan çember için yazılmış denklemdir.[12] (
Kutupsal koordinat sistemi - Vikipedi)
Doğru
Kutuptan geçen ışınsal doğrular şu denklemle gösterilir:
http://upload.wikimedia.org/math/7/4...7e6f537c10.png Burada φ, doğrunun eğim açısıdır ve m'nin Kartezyen koordinat sistemindeki eğimi temsil ettiği
http://upload.wikimedia.org/math/9/3...1fdb4deb0e.png denklemi ile de ifade edilebilir.
Kutup noktasından geçmeyen herhangi bir doğru, ışınsal bir doğruya diktir.[13] (
Kutupsal koordinat sistemi - Vikipedi) θ = φ doğrusunu (r0, φ) noktasında dik kesen doğrunun denklemi ise şöyledir:
http://upload.wikimedia.org/math/7/d...95e4310f29.png.
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...84theta%29.PNG (
Resim:Rose r=2sin(4theta).PNG - Vikipedi)
http://tr.wikipedia.org/skins-1.5/co...gnify-clip.png (
Resim:Rose r=2sin(4theta).PNG - Vikipedi)
r(θ) = 2 sin 4θ denklemi ile verilmiş kutupsal gül şekli.
Kutupsal gül
Kutupsal gül (
"Gül (matematik)" sayfasını değiştirmektesiniz - Vikipedi), taç yapraklı bir çiçeği andıran ve sadece kutupsal bir denklem ile ifade edilebilen ünlü bir matematiksel eğridir. Şu denklemlerle tanımlanır:
http://upload.wikimedia.org/math/0/1...2d715264f3.png VEYAhttp://upload.wikimedia.org/math/e/a/5/ea5cf3a664ceb7d3558a23f65953adfc.png . a değişkeninin gülün yapraklarının uzunluğunu ifade ettiği bu denklemlerde eğer k bir tamsayı ise, k tek sayı olduğunda bu denklemler ile k-yapraklı bir gül ve çift sayı olduğundaysa 2k-yapraklı bir gül elde edilir. Eğer k tam sayı değilse, yaprak (
Yaprak - Vikipedi) sayısı da tamsayı olmayacağı için, bir daire (
Daire - Vikipedi) şekli oluşur. Dikkat edilmesi gereken nokta, bu denklemlerle 4'ün katlarının 2 fazlası (2, 6, 10, 14, ...) kadar sayıda taç yaprak elde etmenin mümkün olmadığıdır.
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...ian_spiral.PNG (
Resim:Archimedian spiral.PNG - Vikipedi)
http://tr.wikipedia.org/skins-1.5/co...gnify-clip.png (
Resim:Archimedian spiral.PNG - Vikipedi)
0 < θ < 6π için r(θ) = θ denklemi ile verilmiş Arşimet spiralinin bir kolu.
Arşimet spirali
Arşimet spirali (
"Arşimet spirali" sayfasını değiştirmektesiniz - Vikipedi), Arşimet (
Arşimet - Vikipedi) tarafından keşfedilmiş ve gene yalnızca bir kutupsal denklem ile tanımlanabilen, ünlü bir spiraldir (
"Spiral" sayfasını değiştirmektesiniz - Vikipedi). Şu denklemle ifade edilir:
http://upload.wikimedia.org/math/b/7...48540602d9.png . a değişkeninin değişimi spirali döndürürken, b değişkeni spiralin kolları arasındaki daima sabit olan uzaklığı kontrol eder. Arşimet spirali, θ > 0 ve θ < 0 değerleri için iki kola sahiptir. İki kol kutup noktasında birbirine düzgün biçimde bağlanır. Kollardan birinin 90°/270° doğrusu üzerinden ayna simetrisi alınırsa, diğer kol elde edilir.
Konik kesitler
http://upload.wikimedia.org/wikipedi...x-Elps-slr.png (
Resim:Elps-slr.png - Vikipedi)
http://tr.wikipedia.org/skins-1.5/co...gnify-clip.png (
Resim:Elps-slr.png - Vikipedi)
Semi-latus rectum mesafesinin gösterildiği bir elips
Büyük ekseni kutupsal eksen (0° ışını) üzerinde, bir odağı kutup noktasında ve diğer odağı da kutupsal eksen üzerindeki başka bir noktada bulunan bir konik kesit (
Konikler - Vikipedi) şu kutupsal denklem ile tanımlanır:
http://upload.wikimedia.org/math/2/9...f5ec04666f.png . Burada e eksantriklik (
Eksantriklik - Vikipedi) ve l de (semi-latus rectum) büyük eksene dik olarak bir odaktan eğriye kadar ölçülen uzaklıktır. Denklem; e >; 1 ise bir hiperbol (
"Hiperbol" sayfasını değiştirmektesiniz - Vikipedi), e = 1 ise bir parabol (
Parabol - Vikipedi) ve e < 1 ise bir elips (
Elips - Vikipedi) oluşturur. e < 1 koşulunun özel bir durumu olarak e = 0 ise, yarıçapı l olan bir çember elde edilir.
Diğer eğriler
Kutupsal koordinat sisteminin dairesel özelliği, birçok eğrinin Kartezyen biçimdense kutupsal bir denklemle çok daha kolay tanımlanmasını sağlar. Bu eğrilerin arasında lemniskatlar (
"Lemniskat" sayfasını değiştirmektesiniz - Vikipedi), ilmek eğrileri (limaçonlar) (
"İlmek eğri" sayfasını değiştirmektesiniz - Vikipedi) ve özel bir tip limaçon olan kardiyoidler (
"Kardiyoid" sayfasını değiştirmektesiniz - Vikipedi) vardır