Beşiktaş Forum ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi

Paradoks

Kendi içinde çelişkiliymiş gibi görünen, mantıksal olarak hem doğruluğu, hem de yanlışlığı kanıtlanabilen önerme.

Antikçağ Yunanlılarında paradoks deyimi yaygın düşünceye aykırı düşünceyi dile getiriyordu ve özellikle Parmenides ile Zenon’un aporia (çıkmazlık)’larıyla antinomia (çatışkı)’larında örneklenmişti. Metafizik düşünce sisteminin temeli olan biçimsel mantık ve onun çağdaş biçimi dizi kuramları bu aykırı düşünce’yi mantıksal bir çelişme olarak tanımlar. Bundan başka metafizik yapılı çağdaş fizikçiler de birtakım kozmolojik paradokslar ortaya atmaktadırlar. Matematik mantıkçı Bertrand Russel’e göre “kendi kendine tıraş olmayanları tıraş eden bir berberin kendi kendini tıraş etmesi” çok önemli bir mantıksal paradokstur. Oysa tıraş etmesini bilen bir berber kendi kendine tıraş olamayanları tıraş ettiği gibi kendi kendine tıraş olabilen insanları da tıraş eder. Örneğin “bir şeyin hem kendisi olması ve hem de aynı zamanda başkası olması” biçimsel mantık açısından büyük bir çelişme, diyalektik mantık açısından pek basit bir gerçektir. Bunun gibi kozmolojik paradokslarda belli bir ortamda geçerli fizik yasalarını başka ortamlara uygulamaktan doğmaktadır. Mantıksal olsun ya da fiziksel olsun , bir yanlış koyum ya da bir bilgi yoksunluğu, genellikle de diyalektik bilgiden yoksunluk yatar. Ünlü Aşil Kanıtı’nda olduğu gibi basit şaşırtma hileleriyse tümüyle bilim dışıdır.

Doğru Parçası Paradoksu:
Önce doğru parçasının tarifini yapalım:
Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanın boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks başlıyor:
Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yanyana gelmesi birşey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yanyana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz.( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırı toplasak 'yarım' dahi etmez. O halde doğrunun tanımında bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın yanyana gelmesi birşey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur.
Noktayı boyutlu kabul edelim. Karşımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.
2+2=5 ¿?
X = Y ................................................ol sun
X² = X.Y............................................eşitli ğin her iki tarafını 'X' ile çarptık.
X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çıkardık.
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafı çarpanlara ayırdık, sağ tarafı 'Y' parantezine aldık.
( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadeleşti.
X + X = X..........................................X = Y olduğundan,
2.X = X..............................................'X' leri topladık.
2 = 1 ................................................'X' ler sadeleşti.
3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.
5 = 4.................................................. buradan,
5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2' şeklinde yazdık. HATA NEREDE?

Cantor Paradoksu:
George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayısı, asıl kümeden daha fazladır. Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir?
"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir. Yani:
2ª Ì X (2 üzeri a, alt küme X) dir. Buradan şunu yazabiliriz:
card(2ª) card(a)................1
Çünkü alt kümelerin kardinali asıl kümelerden küçüktür veya eşittir. Ancak Cantor Teoremine göre:
card(2ª) > card(a)...................2
olmalıdır. 1 ve 2 çelişmektedir.
Karışım Paradoksu:
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?
Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir. İşte ispatı:
Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır. Veya:
İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya:
İlk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur.
Bütün Sayılar Eşittir Paradoksu:
a ve b birbirinden farklı herhangi iki tamsayı ve c de bunların farkı olsun:
a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafı (a-b) ile çarptık.
a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtık.
a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attık.
a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sağ tarafa attık.
a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sağ tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldık.
a=b.................................................. ..(a-b-c) ler sadeleşti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri)
Karışık Bir Hesap:
İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:
-"Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:
5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;
x=(60.20)/5= 240 TL
Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

1 kg = 1 ton ¿?
1 kg = 1000 gr.............(1)2 kg = 2000 gr.............(2)
(1) ve (2) çarpılırsa:
2 kg = 2.000.000 gr2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton). Dolayısı ile,
1 kg = 1 ton

Hempel Paradoksu:
Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtır!"
Bu önermeyi iki şekilde ispatlayabiliriz:
a) Çok sayıda kuzgun görüp, hepsinin de siyah olduğunu tesbit ederek,
b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda kuzgun da olmadığını görerek.
Bilinen şu ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok sayıda siyah olmayan, aynı zamanda kuzgun da olmayan cisim vardır. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayız. Kırmızı cisimler için bu uygulama yapılmamışsa "bazı kuzgunlar kırmızı " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarım" ın itibarını sarsmıştır.

Arnauld Paradoksu:
Herkes bilir ki;
· ·(Büyük Sayı / Küçük Sayı) ¹ (Küçük Sayı / Büyük Sayı) dır.
(5 / 2) ¹ (2 / 5) gibi
Ancak negatif sayılar bu kuralı bozar:
(3 / -3) = (-3 / 3)
Ayrıca;
· ·(Büyük Sayı / Küçük Sayı) > 1 dir.
(4 / 3) > 1 gibi
Yine negatif sayılar için kural ihlâl edilir:
(3 / -1) < 1
Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantıksız geldiği için negatif sayıların olmadığına hükmetti.

Galileo Paradoksu:
Sonsuzlukla ilgili bir paradoks:
Yukarıda ilk sırada pozitif tamsayılar, altında iki katları, en altta da kareleri var. İlk seri sonsuz olduğuna göre diğer seriler de sonsuz elemanlı. Ayrıca ilave olarak sayıların küplerini, üç katlarını, on katlarını, yarılarını, üçtebirlerini de yazabiliriz. Hiçbir sonsuz da birbirine eşit değil. (Sonsuz hakkında bkz.Matematiğin Sırları)

Euplides (Kum Yığını) Paradoksu:
Euplides, hiçbir zaman bir "kum yığını" oluşturulamayacağını iddia etmiştir. Çünkü bir kum tanesi, "yığın" değildir. Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın oluşmaz. "Kum yığını" olmayan birşeyin yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde edemeyeceğimize göre Hiçbir zaman "kum yığını" oluşturamayız.
Daha açık bir deyişle: Kabul edelim ki birer birer kum tanelerini biraraya getirelim. Hangi merhaleden sonra kumlar "yığın" oluşturur? Diyelim ki 'bir milyon' adet kum tanesi, bir yığın oluştursun. Dokuzyüz doksandokuzbin dokuzyüz doksandokuzu "kum yığını" kabul edilmeyecek mi? Edersek "1" eksiği de yığın olmaz mı? Yani hangi aşama bizim için "yığın" anlamına gelir?

-1=1 ¿?

Berber Paradoksu:
Klasik paradokslardan biri daha:
Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek?
Kendi kendine traş olsa; kendisini traş edebildiği için tanıma ters düşecek. Başkası traş etse; o kişi kendi kendine de traş olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)

Russel Paradoksu:
1970 yılında 98 yaşında ölen Bertrand RUSSEL'ın çok bilinen paradoksu:
"Bir odada papa ve ben varım. Odada kaç kişiyiz?" Cevap:
"Bir kişiyiz. Çünkü ben, aynı zamanda papayım"
Russel'ın "Kümeler" Paradoksu:
Russel'a göre iki çeşit küme var:
a) Kendisinin elemanı olan(ihtiva eden) kümeler.
b) Kendisinin elemanı olmayan kümeler.
Şimdi, "Kendisinin elemanı olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemanı mıdır?

Fizik Paradoksları:
Olbers Paradoksu
Bu paradoks, biraz da artronomi ile ilgili.
Olbers, araştırmaları neticesinde, şu fikirlere vardı:
a) Kâinatın (uzayın), başlangıcı ve sonu yoktur.
b) Kâinatın bir sınırı yoktur.
c) Kâinattaki yıldızlar, düzenli bir şekilde dağılmıştır.
d) Kâinatın büyüklüğü sabittir.
e) Diğer yıldızlardan gelen ışığı engelleyici bir faktör yoktur.
Bütün bunlara dayanarak, Olbers'e göre gece gökyüzünün çok parlak olması gerekir. Çünkü sonsuz adet ışık kaynağı yani yıldız mevcuttur. Gece, karanlık olduğuna göre yanlış olan birşeyler var. Yapılan araştırmalar, kâinatın bir başlangıcı olduğunu ispatlamıştır. Kâinatın saniyede 60 bin km. hızla genişlediği de ilmî bir gerçektir. Yıldızlardan gelen ışığı engelleyen bir faktör mevcut olsa idi, bu faktörün ısınması ve daha sonra da ışık kaynağına dönüşmesi gerekirdi. O halde gökyüzü gece parlak değilse bunun birkaç sebebi vardır:
a) Kâinatın mutlaka bir başlangıcı vardır.
b) Kâinatın büyüklüğü sabit değildir. Yani genişliyor.
c) Yıldız sayısı sınırlıdır.
d) Yıldızlar kâinatta düzenli olarak dağılmamıştır.
Aristodan:
Kabul edelim ki eşit ağırlıkta ve özellikte iki cismi belli bir yükseklikten attığımızda ikisi de aynı zamanda yere düşer. Şimdi bu iki cismi birbirine bağlayıp tekrar atalım. Aristo'ya göre bu cisimler daha hızlı düşmelidir. Çünkü artık ağırlıkların iki katı olan tek bir nesne olmuşlardır. Ya da olayı bir de şöyle düşünelim:
Ağırlıkları A ve a olan iki cisim düşünelim. Aristo'ya göre daha ağır olan A, daha hızlı düşer. Hızlarına da B ve b diyelim. Bu iki cismi birbirine bağladığımızda, A, a'yı kendine yani aşağı doğru çekecek; a da A'yı yukarı doğru çekecektir. Bu cisimler, yere B ve b arasında bir hızla yere düşmelidir. Ama Aristo der ki:
-" Cisimleri birbirine bağladığımızda ağır olandan daha ağır bir cisim elde etmiş oluruz. O halde A'dan daha hızlı düşmeliler."
Amperler:
Üç fazlı dağıtımda, 2 amper ile 2 amper, dört amper etmez. Yani üçgen bağlama motorda:
2 amp + 2 amp = 3.4641 amp olur.
İkizler:
Fizikte en önemli paradokslardan biride ikizler paradoksudur.
Buna göre ikiz olan kardeşlerden biri ışık hızı ile uzaya fırlatılsa ve 50 sene sonra dünyaya tekrar gelse dünyada kalan ikizin yaşı "x+50", uzaydan gelenin yaşı ise "x+50>gelen" olacaktır. Yani biri yaşlı biri genç ama bir çok bilim çevresi zamanda böyle bir yolculuğun ışık hızına dahi çıkılsa mümkün olmayacağını iddia eder. Çünkü eğer böyle olsa idi ışık sürekli geçmişe yol alır. Evrende sürekli yer değiştirmeyen ışık bütün evreni aydınlatırdı.Fakat atmosferimize çarpan mezonların 1sn lık anı, 10 dk gibi geçirdikleri ispatlanmıştır"
Nebi Volkan ÜNLENEN'den
Renklerin Karışımı:
Renklerin karışımını iki şekilde gerçekleştirebiliriz.
a) Madde (meselâ boya) olarak,
b) Işık olarak.
Aşağıdaki ilk şekilde renkler, madde olarak karıştırılmıştır. Kesişimlerinde diğer renkler de görülmektedir. Tüm renklerin kesişiminden de "SİYAH" elde edilir.
İkinci şekilde de ışık olarak karışım yapılmıştır. Burada da tüm renklerin karışımı "BEYAZ"ı verir. (Gökkuşağında veya prizmada olduğu gibi)

Akan Su
Bir musluğu biraz açıp gözleyelim. Seri halde akan su, aşağı doğru indikçe inceliyor. Neden?
İpucu: Yerçekimi ve hız

Yağmur
Çok şiddetli bir yağmur yağıyor. Gideceğimiz yere ıslanmadan ulaşmak için koşmak iyi bir fikir mi, Yoksa yürümeli miyiz? Süre ve mesafe, ıslanmayı nasıl etkiler?
İpucu: Meselâ 10 metrelik bir mesafeyi ve 10 dakikalık süreyi ayrı ayrı düşünün.
devam edecek