İstatistik Kavramı ve Tarihsel Gelişimi

Tablo 1-5 Veri Gruplarının Gerçek Sınırları ve Orta Noktaları

Aralık

Gerçek Sınırlar

Orta Noktası

(Aralık İndeksi)

95-99

94,5-99,5

97

90-94

89,5-94,5

92

85-89

84,5-89,5

87

80-84

79,5-84,5

82

75-79

74,5-79,5

77

70-74

69,5-74,5

72

65-69

64,5-69,5

67

60-64

59,5-64,5

62

55-59

54,5-59,5

57

50-54

49,5-54,5

52

45-49

44,5-49,5

47

40-44

39,5-44,5

42

35-39

34,5-39,5

37

30-34

29,5-34,5

32

25-29

24,5-29,5

27

20-24

19,5-24,5

22

Aralık orta noktasını hesaplamanın başka bir yolu da:

(Aralığın Alt Sınırı + a/2) ya da (Aralığın Üst Sınırı – a/2)

Şeklinde özetlenebilir.
Aşağıdaki şekilde 50-54 aralığının gerçek sınırları geometrik olarak gösterilmiştir. Şeklin incelenmesinden anlaşılacağı gibi, aralığın gerçek sınırları dikkate alınmazsa, 50-54arasında 50, 51, 52, 53 ve 54 gibi beş sayı olduğu halde, bunları yalnız dört aralıkta göstermek gibi bir durumla karşılaşırız; bu hatalı olur. Öte yandan, aralığın gerçek sınırları dikkate alındığı zaman, beş tane aralık elde edilir ve bunların her biri beş ayrı değeri gösterir.


Alt Sınır Orta Nokta Üst Sınır
.

.

.

.

.

.

.

.

.

49,5 50,5 51,5 52,5 53,5 54,5

50 51 52 53 54

Şekil 1-1 Tablo 1-4 te verilen 50-54 aralığının gerçek sınırlarını ve orta noktasının gösterimi

Şekil 1-1 üzerinde, ilgili aralığın orta noktası 52 olarak açıkça görülmektedir.

Frekans Dağılım Üzerine Hesaplamalar:

Yüzdelerle İlgili Hesaplamalar:

Frekans dağılım tablosu üzerinde her aralığa rastlayan ölçümlerin yüzde miktarı “p” ile gösterilir.
a) Frekansların tamamı yüzde yüz olduğundan 100/n ile gösterilir. Her ölçüm başına düşen yüzde miktarı bulunur.
b) 100/n ile bulunan katsayı her aralığın frekansı ile çarpılarak aralıktaki ölçümlerin yüzde miktarı bulunur. Örneğin, tablo 1-4 den 65-69 aralında ölçümlerin yüzde miktarı n=50 için; 100/n = 100/50 = 2 bu aralıkta f=7 olduğundan 7x2=14 bulunur. Buradan bütün grubun %14 ‘ünün 65-69 aralığında puan aldığı görülür.

Toplamlı Frekans Ve Toplamlı

Yüzdelerle İlgili Hesaplamalar:

Örneğin tablo 4 ile ilgili olarak 69 ve daha aşağı puan alanların sayısını, ya da 79’dan daha yüksek puan alanların grubun yüzde kaçı olduğunu sorabiliriz. Bunun cevabını frekans (f) ve yüzde (p)’den çıkarabiliriz. Ancak n sayısının büyük olduğu dağılımlarda bunu yapmak zor olduğundan, böyle durumlarda toplamlı frekans (tf) ve toplamlı yüzde(tp)’den yararlanacağız. Bunlarla tablo 1-6’yı oluşturabiliriz.

TABLO1-6 PUAN DAĞILIMININ YÜZDE, TOPLAMLI FREKANS VE TOPLAMLI YÜZDELERİ
GRUP ARALIKLARI
(f)
(p)
(tf)
(tp)
95-99
2
4
50
100
90-94
2
4
48
96
85-89
3
6
46
92
80-84
3
6
43
86
75-79
5
10
40
80
70-74
5
10
35
70
65-69
7
14
30
60
60-64
4
8
23
46
55-59
2
4
19
38
50-54
5
10
17
34
45-49
2
4
12
24
40-44
2
4
10
20
35-39
3
6
8
16
30-34
3
6
5
10
25-29
1
2
2
4
20-24
1
2
1
2

Toplamlı frekans sütunu; frekans sütunundaki sayılar herhangi bir uçtan başlayıp üst üste eklenerek bulunur. Toplamlı yüzde sütunu da aynı şekilde elde edilir.
Şimdi tablo düzenlemesi ile ilgili bazı hususlara değinelim;
· tablolar daima bir sıra numarası ile belirlenmeli, numaradan sonra neyi gösterdiği başlık olarak yazılmalıdır.
· Başlık mümkün olduğu kadar kısa ve açık olmalıdır.
· Tablolar yalın, sütunları ve sıralı kendi aralarında mantıksal bir biçimde dizilmiş olmalıdır.

Verilerin Grafikle Gösterilmesi

Verileri düzenlemenin ve kolayca anlaşılır duruma getirmenin yolarından biri de bunları grafikle göstermektir. Grafikler üzerinde de bir çok soruları cevaplama ve karşılaştırmalar yapma olanağı vardır.
Grafik, bir dizi verinin, bazı kurallara uyularak, geometrik bir şekil biçimine getirilmesi ile elde edilir. Grafikler, problemler, ilişkiler, süreçler, oluşumlar ve veriler hakkında şekillerle düşünme olanağı sağlar. Günlük yaşamda karşılaşılan problemlerin çoğu şekillerle gösterilebilir. Bu olanaklar da problemlerin mahiyetini anlamamızı ve çözüm yolarını bulmamızı kolaylaştırır.
Verileri grafikler şeklinde göstermenin değişik yolları vardır. Bunların hepsini teker teker incelemek olanaksızdır. Bu nedenle, uygulamada en çok kullanılan birkaç grafik türü üzerinde duralım.

Çizgi Grafikleri

Bu tür grafiklerin bir çok şekilleri vardır. Burada bunlardan ikisi üzerinde duracağız. Şekil 1-2 ve 1-3, tablo 1-6 daki verilerin grafikle gösterimidir. Her iki şekilde de frekanslar çizgi boylarıyla gösterilmiştir. Bu grafiklerin çizilişini kısaca açıklayalım.






[IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image001.gif[/IMG]


Puanlar


22 27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97

7

6

5

4

3

2

1

0

Şekil 1-2 Tablo 1-4 Verilerin Çizgi Grafiği

[IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image001.gif[/IMG]7

6

5

4

3

2

1

0

22 27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97

Puanlar

Şekil 1-3 Tablo 1-4 Verilerin Çizgi Grafiği

Matematikten hatırladığımız koordinatlar sisteminde X ve Y eksenlerinin yalnız (+) değerleri gösteren kısımları alınır. Böylece, birbirini 90 derecelik bir açı ile kessen iki çizgi elde edilir. Bunlardan yatay olan X ekseni üzerine gözlenen ölçümler, dikey olan Y ekseni üzerine frekanslar yazılır. Bunun tersi de yapılabilir. Matematikte olduğu gibi, X ve Y eksenlerinin ikisinin de sıfırdan başlaması ve eksenler üzerindeki birimlerin birbirine eşit olması zorunlu değildir. X ekseni bir sayı ile başlayıp belirli birbirine eşit parçalara bölünebilir; Y ekseni de başka bir sayı ile başlayıp farklı bir birimle eşit parçalara bölünebilir. Eksenleri parçalara bölme işi bittikten sonra, her X değerinin frekansı Y ekseni üzerinden okunarak kesişme noktaları işaretlenir. Bu işaretlerle ilgili oldukları X noktaları arası Y eksenine paralel dik çizgilerle birleştirilirse, şekil 1-2; işaretler arası, doğru çizgilerle birleştirilirse de şekil 1-3 elde edilir. Burada bir noktaya dikkat edilmelidir. X ekseni üzerinde alınan noktalar, gruplanmış veriler için aralıkların orta noktalarıdır. Şekil 1-2 ve 1-3 te tablo 1-5 te gösterilen aralık noktalarıdır.

BarGrafik(Histolgram)

Bargrafik frekansları sütunlar halinde alanlarla gösterilerek elde edilir. Tablo 1-4 te verilen frekans dağılımının bargrafiği şekil 1-4 te gösterilmiştir. Bu grafikte de Y ekseni, frekansları, X ekseni ise, gözlenen ölçümleri göstermektedir. Grafikte devamlılık sağlamak için, X ekseni üzerine aralıkların alt sınırını gösteren değerler yazılır. Her aralığa rastlayan frekansın Y ekseni üzerine karşılığı alınır ve bu miktar bir alanla gösterilir. Her aralığın alan büyüklüğü, ilgili aralıktaki frekans sayısı ile orantılıdır. Grafik üzerinde görüldüğü gibi, her sütunun taban orta noktası, ilgili aralığın orta noktasına eşit olmaktadır.

Gerek çizgi grafikler, gerekse bargrafik, eksenler üzerine yazılan değerler yer değiştirilerek, yani X ve Y eksenleri üzerindeki bilgileri yer değiştirilerek ters yönde de çizilebilir. Böyle yapıldığı durumlarda da temel ilke ve işlem aynıdır.

Frekans Poligonu

Verileri gruplarken bir aralığa rastlayan frekanslarla ilgili iki tür sayıltıdan söz etmiştik. Bunlardan frekansların aralık boyunca eşit olarak dağıldığını ön gören sayıltı bar grafik için gereklidir. Frekans poligonu çizerken ise, bir aralığa rastlayan frekansların aralığın orta noktası üzerinde toplandığı kabul edilir.

[IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG]7

6

5

4

3

2

1

0

22 27 32 37 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97

Puanlar

Şekil 1-5 Tablo 1-5’ teki Verilerin Frekans Poligonu

Bargrafik ile frekans poligonu arasındaki fark da bu iki sayıltı farkından kaynaklanır. Bir bargrafikte sütunların tepe orta noktalarını düz çizgilerle birleştirip grafiğin iki ucunu X ekseni üzerinde kaparsak, elde edilen grafiğe frekans poligonu denir. Şekil 1-4 te verilen bargrafik için temel alınan verilerin frekans poligonu Şekil 1-5 te görülmektedir. Bu tür grafiği çizerken eldeki dağılımın iki ucuna yarımşar aralık boyu eklenir ve grafik bu noktalar üzerinde kapatılır. Bargrafik ile frekans poligonu arasındaki ilişki, Şekil 1-4 ve Şekil 1-5 in bir arada çizildiği Şekil 1-6 da gösterilmiştir.

Toplamlı (Yığmalı-Ulamalı) Frekans

Ya Da

Toplamlı Yüzde Grafiği

Toplamlı frekans ya da toplamlı yüzde grafiği çizerken, Y ekseni üzerinde gösterilen değerler daha önceki grafiklerde olduğu gibi frekansları değil,

[IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif[/IMG]

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Puanlar


[IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image007.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image009.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image011.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image013.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image015.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.gif[/IMG]

Şekil 3-6 Bargrafik ve Frekans Poligonu İlişkisi

toplamlı frekansların ya da toplamlı yüzdeleri gösterir. Bunun için, Y ekseni toplam frekans ya da toplamlı yüzde miktarı dikkate alınarak bölümlenir. X ekseni üzerindeki değerlerde gruplanmış veriler için aralıkların üst sınırını gösterir. Eksenler bu şekilde ayarlanmış her aralıktaki toplamlı frekansa göre kesişme noktaları saptandıktan sonra, noktalar arası, köşeleri mümkün olduğu kadar düzenlenmiş bir çizimiyle birleştirilir. Bu yolla elde edilen grafiğe toplamlı frekans grafiği ya da duruma göre toplamlı yüzde grafiği denir. Bu tür grafik bazen s-grafik veya ogive şeklinde adlandırılır. Tablo 1-6 da verilen toplamlı frekans grafiği şekil 1-7 de gösterilmiştir. Görüldüğü gibi bu tür grafikte inişler yoktur. X ekseni üzerinde sağa kaydıkça grafik ya aynı seviyede kalır ya da yükselir. Çünkü, hatırlanacağı gibi, toplamlı frekanslar hesaplanırken frekanslar ya da toplamlı yüzdeler üst üste eklenir. Bu tür grafik çizilirken grafiği X ve Y eksenlerinin kesiştiği noktadan başlatmak sıkça kullanılan bir yoldur.
Bu tür grafikler üzerinde belirli bir değerin üzerinde ya da altında kalan frekansların yüzde miktarı da kolayca okunabilir. Aynı veriler için çizilen toplamlı frekans ya da toplamlı yüzde grafikleri aynı olacağından, uygulamada çoğu kez Y ekseni üzerinde toplamlı frekanslar bu eksenin karşı tarafına da toplamlı yüzdeler yazılarak bu grafiğin iki amacı birden hizmeti sağlanır. Şekil 1-7 çizilirken böyle yapılmıştır.

[IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image024.gif[/IMG]100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0

50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0

[IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif[/IMG]

Puanlar


[IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image007.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image009.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image011.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image013.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image015.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME~1/MEHMET~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.gif[/IMG]

Daire Grafik

Gözlem sonunda elde edilen verilerin farklı kategorilere dağılımı bir daire şeklinde de gösterilebilir. Bunu yapmanın en kolaya yolu; önce her kategoriye isabet eden verilerin yüzdelerini bulmak sonra da daireyi bu yüzdelere göre birimlerine ayırmaktır. Daire dilimlere ayrılırken 360 ilgili yüzdelere göre bölümlenir. Çünkü bir daire 3600 dir. 360’ ın ilgili yüzdelere bölünmesi ile elde edilen değerler, ilgili kategorilerin daire içinde kaçar derecelik açılarla bölünebileceğini gösterir. Bulunan açılar da bir açı ölçerle belirlenip daire dilimlerine ayrılır. Daire grafik üzerinde dilimler farklı renklerle gösterilebileceği gibi, gölgeleme ya da tarama gibi tekniklerden de yararlanılır. Aşağıda bir üniversitenin öğrencilerinin farklı fakültelere dağılımı gösterilmiştir.
Bu gördüklerimize dayanarak grafiklerin çizimi ile ilgili birkaç önemli noktaya değinelim. Tablolar gibi, grafiklerin de birer sıra numarası şekil 6 ile belirtilmesi gerekir. Grafikler için “şekil” deyimi kullanılır. Numara ve şekil adı grafiğin altına yazılır.
Unutmamak gerekir ki, verileri grafikle göstermenin amacı, verilere anlam kazandırmak ve uzun açıklamaları kısaltmaktır. Grafikleri bu amaca hizmet etmesi ve göze hoş görünmesi gerekir. Verilerin hangi tür grafik ya da grafikle gösterileceği verilerin durumuna, çıkarılmak istenen sonuçlara, grafiği kimlerin kullanacağına ve olanaklara bağlıdır.