İstatistik Kavramı ve Tarihsel Gelişimi

İSTATİSTİK KAVRAMI VE TARİHSEL GELİŞİMİ

Giriş

İstatistik sözcüğünün kökeni konusunda kesin bir görüş birliği yoktur. Bazı bilimciler sözcüğünün Latince’ de “durum” ya da “vaziyet” anlamına gelen anlamına gelen statüs kökünden geldiğine ya da İtalyanca’ da devlet anlamında kullanılan istatista sözcüğünden türediğine inanırlar. Başka bir grup bilimci ise sözcüğün “ gözlem” anlamına gelebilen statizein sözcüğünden türemiş olabileceğine inanırlar. Burada önemli olan kavramın oldukça eski geçmişinin oluşudur.
Öte yandan, Alman bilimcileri devletin durumuyla ilgili sayısal bilgiler için ilk kez on sekizinci yüzyılın başlarında istatistik deyimini kullandılar. Aynı sözcük değişik dillere az çok farklı biçimlerde girerek günümüzde kullanılan şeklini almıştır.
Dilimizde istatistik sözcüğünün kullanımı Cumhuriyetten önceki dönemlere rastlanmaktadır.


İstatistiğin Tanımı


İstatistik değişik anlamlarda kullanılan, bunun bir sonucu olarak da farklı tanımları olan bir kavramdır. Quetetelet adında bir istatistikçi daha on dokuzuncu yüzyılda kavramın yüzden fazla değişik tanımını saptamıştır. Kavramın değişik anlamlarda kullanılması bir bakıma doğaldır. Çünkü istatistik, günümüzde, bütün çalışma alanlarında kullanılmaktadır. Günlük yaşamımız süresince çevremizde olup biten pek çok olayla karşılaşabiliriz? Yaklaşmakta olan bayram tatilinde havalar nasıl olacak? Gelecek seçimi hangi partinin kazanma şansı daha fazladır? Tıp Fakültesi hastanesine hangi yaşlar arasındaki kimseler ne gibi nedenlerle başvurmaktadır? Üniversite öğrencilerinin giriş sınavlarında aldıkları puanlarla üniversitedeki başarıları arasında ne kadar ilişki vardır? Endüstrinin hangi alanlarına yatırım yapmak daha karlı ve daha aza risklidir? Son 3-4 aylık veya yıllık dönemde değişik malların ve yiyecek maddelerinin fiyatlarında nasıl bir değişme olmuştur; aynı madde ve malların fiyatlarını gelecek 3-4 aylık dönemde nasıl bir değişme göstermesi beklenmektedir? Bir okuldaki öğrencilerin değişik sınavlarda aldıkları notlar ya da puanlar nasıl bir değişme göstermektedir? Bir ülkenin değişik kesimlerinde hava sıcaklığı ve yağış miktarı, yılın farklı aylarına göre nasıl bir değişme göstermektedir; yapılan bazı gözlemlere dayanarak hava sıcaklığı ve yağış durumunda gelecek günlerde nasıl bir durum beklenmektedir? Trafik kazalarında, suç ve suçlu sayısında yıllara göre nasıl bir gelişme vardır; bu değişmeye bakarak gelecek birkaç yıl içinde nasıl bir durumla karşılaşmamız beklenmektedir? Ülkemize gelen turist sayısında son yıllarda nasıl bir değişme olmuştur; gelecek birkaç yıl içinde nasıl bir durumla karşılaşmamız beklenmektedir; buna göre ihtiyaç duyulacak yaklaşık yatak sayısı ve öbür tesis hizmetlerinin miktarı ne olacaktır? Ülkemizde nüfus artışı, iç ve dış göçler ile öbür etkenler dikkate alındığında, önümüzdeki 5-10 yıl içinde değişik yörelerde okul, dershane, öğretmen ve diğer araç gereç ihtiyacı ne olacaktır?
Bu gibi sorular zihnimizi sık sık meşgul eder. Bu tür soruların hepsine doğru olarak cevaplama olanaklarına sahip değiliz. Bazı soruları kendimizin ya da başkalarının ortaya koyduğu bilgilerden yararlanarak cevaplayabiliriz. Bazı soruların muhtemel cevapları hakkında ise, hiçbir bilgimiz ya da görüşümüz olmayabilir bizi en çok ilgilendiren ikinci ve üçüncü türden sorulardır. Çünkü bazı amaçlarımızı gerçekleştirebilmemiz bu tür sorulara verebileceğimiz cevaplara bağlıdır.
Öte yandan çok iyi biliyoruz ki bir çok soruyu, özellikle cevaplandırmadan tam emin olmadığımız ve cevapları hakkındaki bilgimizin çok sınırlı olduğu soruları, güvenilir biçimde cevaplandırmanın doğru yolu, bunlarla ilgili bilgi toplamak ve bilgileri çözümlemek, sonuçlar çıkarmaktır. Bilimsel yöntem adını verdiğimiz, günümüzün en güvenilir araştırma, inceleme ve veri üretme yönteminin uygulanması da bu işlemleri gerektirir. Topladığımız bu bilgiler çoğu kez sayısal durumdadır ya da anlam ve işlem kolaylığı sağlamak için biz onları sayılarla göstermeye çalışırız. Bir futbol takımının bir mevsim boyunca yaptığı maçlarda kaç puan aldığı, kaç kol attığını ve ligdeki sırasını saptamak; bir polikliniğe bir süre içinde başvuran hastaların boy uzunlukları, yaşları, kazanç durumları ile başvurma nedenlerini saptamak; bir okula devam eden öğrencilerin boy uzunlukları, ağırlıkları, yaşları, zeka düzeyleri ve bunun gibi bilgileri toplamak ya da dış ticaretle ilgili bilgiler toplamak gibi. Belirli amaçlarla toplanan benzeri sayısal bilgilere veri denir. Veri incelemeyle uğraşan bilim dalına istatistik denir. Bu anlamıyla istatistik, veri toplama ve verileri inceleme amacıyla geliştirilmiş teknikler ve yöntemler bilimidir. Bu yönden ele aldığımız zaman istatistiği belirli amaçlar için veri toplama, toplanan verileri tasnif etme, çözümleme ve yorumlama teknik ve yöntemleri bilimidir şeklinde tanımlayabiliriz. Bu tanıma göre istatistiğin temel amacı, bireyleri ya da objeleri bunlardan oluşan toplulukları bazı nitelikleriyle betimlemek ve bunlar hakkında tahminlerde ya da varsayımlarda bulunmaktadır.
İstatistik teknik ve yöntemlerini kullanılış amaçlarına göre, iki genel grupta toplayabiliriz.
1. Gözlenmiş durumları bazı istatistiksel ölçülerle betimlemeye istatistik ya da tasviri istatistik
2. Gözlenmiş durumlardan elde edilen bilgilerden, gözlenmemiş durumlar hakkında var damalarda bulunmada yararlanılan teknik ve yöntemler kısmında vardamdı istatistik ya da istidatlı istatistik denir.
İstatistik bilimsel yöntemin en güçlü ve temel araçlarından biridir. Çünkü bilimsel yöntemin gereğince uygulanması, ilgilendiğimiz sorulara cevap ararken, düzenli gözlemler yapmayı, gözlemlerden elde edilen tasnif ve çözümlerden geçirerek sonuçlar çıkarmaya ve bu sonuçların ilgilendiğimiz sorular cevap oluşturup oluşturmadığını karara bağlamayı gerektirir. İstatistik ise, gözlemlerin düzenli bir şekilde düzenlenip yürütülmesi, gözlemlerden elde edilen bilgilerin tasnif ve çözümlenmesi ile bunlardan sonuçlar çıkarmada yararlı olacak teknik ve yöntemler geliştirir. Bu nedenle istatistik, hem teknik hem yöntemler geliştiren bir bilim, hem de yöntemler topluluğu sayılabilir. İstatistiğin bir bilim yönü vardır; çünkü bir bilimden beklenen temel işlevleri istatistikte yerine getirmeye çalışır.
Herhangi bir bilimin temel işlevlerini farklı şekillerde sıralamak mümkündür. Bunlar şöyle özetlenebilir:
a) İnceleme alanına giren objeleri, bireyleri, ilişkileri ve oluşumları betimlemek.
b) İnceleme konusu yapılan durumları, oluşumları, süreçleri ve ilişkileri açıklayarak ilgili ilke genelleme ve yasalara temel oluşturmak
c) Gözlenen durumlardan yararlanarak gözlenmeyen ya da gözlenemeyen durumlar hakkında geleceğe yönelik tahminlerde bulunmak.
d) İstenen sonuçları elde edebilmek için gerekli koşulları kontrol olanakları geliştirip uygulamaya koymak.
Herhangi bir çalışma alanı bu işlevleri “bilimin gereklerine uygun” biçimde yerine getirebildiği oranda başarılı sayılır. İstatistik hakkında karar verirken de böyle bir ölçütü temel almak gerekir. Bu yönden baktığımız zaman gerçekten de istatistiğin bir bilim yönü olduğu, hatta bu yönünün çok daha ağır bastığı görülür. Aslında pek çok çalışma alanı için de durum böyledir. Sanat saydığımız bilimlerin bile az çok bir bilim yönü vardır. Örneğin mimarlığın, heykel tıraşlığın, mozaikçiliğin sanat yönleri yanında bir de bilim yönleri vardır.
Bir bilim olarak istatistik uygulamalı matematiğin bir dalı olup bütün alanlarla ilişkilidir. İstatistiğin genel bir kuramlar, teklifler ve yöntemler bütünü vardır; bunlar gözlem yapılabilen her alana uygulanır. Ancak, bazı teknik ve yöntemler bazı alanlarda karşılaşılan özel durumlara daha uygun düşer ve daha fazla kullanılır.
Öte yandan, istatistik deyimi günlük dilde, çoğu kez bir durumla ilgili bir dizi sayısal bilgi ya da veri karşılığı olarak kullanılır. Örneğin, Ankara’ da 1980-1990 yıllarında gözlenen trafik kazalarının sayısı, ölü ve yaralı sayısı, kazaların nedenleri vb. sayısını gösteren bilgiler; belirli bir zamanda ülkemizdeki okul, öğrenci, öğretmen vb. sayısını gösteren milli eğitim istatistikleri; dış ticaretimizle ilgili dış ticaret istatistikleri ya da nüfusumuzla ilgili çeşitli bilgileri kapsayan nüfus istatistikleri bu anlamı ile istatistik objelerin, bireylerin ya da durumların sayısal özetidir. Bu özetlere temel olan sayılar farklı yollarla toplanabilir ve kapsamları farklı olabilir. Kavramın en eski ve günlük dilde en yaygın kullanılmış şekli, sözünü ettiğimiz sayısal bilgi karşılığı olmakla beraber, kavramı bu anlamda kullanmamaya çalışacağız. Bunun yerine, sayısal bilgileri veri ya da duruma ya da ölçüm şeklinde adlandıracağız.
Yukarıda açıklanan farklı kullanılış şekillerine ek olarak herhangi bir örneklem grubu için elde edilen istatistiksel ölçüler de (ortalama, ortanca, standart kayma vb.) istatistik denir. Sözü edilen ölçüler evrenin istatistiksel ölçüleri ise, bunlara parametre ya da evren değer denir. Bu ayırım çok önemlidir. Bir bilim olarak istatistiğin temel işlevlerinden biri, örneklem gruplarının istatistiklerinden yararlanarak ilgili evrenlerin parametrelerini tahminde yardımcı olacak teknik ve yöntemler geliştirmektir. Bu teknik ve yöntemler yardımı ile örneklem gruplarını istatistiklerinden evrenlerin parametrelerini ya da evren değerlerini tahmin işlemine istatistiksel vardama (istatistiki istidlal) denir.

Neden İstatistik?


İçinde yaşadığımız dünya hızla değişmektedir. Günlük gazetelere bir göz atar radyo-Tv yayınlarını izlersek, ele alınan konu ne olursa olsun, sayısal ifadelerin sık sık kullanıldığını görürüz. Ayrıca, günlük yaşamımız süresince karşılaştığımız “ne kadar”, “ne zaman”, “nerede”, “nasıl” ve “kaç tane” gibi soruları çoğu kez sayısal ifadelerle cevaplayabiliriz. İstatistik sayısal bilgileri inceleyen bir bilim olduğuna göre, istatistik bilgisi en azından çevremizde olup bitenleri anlama ve bunları başkalarına anlatmada yardımcı olur.
Öte yandan, çeşitli alanlarda karşılaşılan sorunlara çözüm yolları bulma ihtiyacı gün geçtikçe artmaktadır. Bunu yanı sıra, sorunları çözümlemede “pratik muhakeme” ya da geleneklere dayanma yerine gözlemlerde bulunarak sonuçları bilimsel yollarla inceleme ihtiyaç ve eğilimi de gün geçtikçe güçlenmektedir. Böyle bir ortamda farklı alanlarda günlük meselelerin ötesinde işlem ve sorunlarla uğraşan kişilerin, doğal bir parçası olan istatistiğin yöntemlerini bilmesi bir zorunluluktur. Çünkü;
a) Herhangi bir alanda çalışan bir kişi, aynı alanda başkalarının ortaya koyduğu bilgileri anlayıp değerlendirmek zorundadır. Farklı alanlarda yapılan çalışmaların çoğunda, bulgu ve görüşler istatistiksel biçimde verilir ya da istatistik kavramları ile ilgili kuram ve görüşlerden söz edilir. Söz konusu istatistiksel kavramlar, günümüz bilimcilerinin sorunu ele alış ve bunlarla ilgili düşünüş biçimi şekillendirmede önemli bir yer tutar. Sorunların ele alınış ve bunlarla ilgili düşünüş biçiminden habersiz olan ve çalışma alanının diğer elemanlarıyla fikir alış verişi kuramayan bir kimsenin çalışmalarında etkili olması beklenemez.
b) Herhangi bir alanda çalışan ya da yetişmekte olanların da araştırmalar yapması beklenir. İyi bir araştırma düzenlemek, yürütmek ve toplanan bilgileri uygun biçimde çözümlemek ise, istatistik bilgisi ve anlayışı gerektirir. Araştırmalarda istatistik ve teknik yöntemlerinden yararlanmak araştırmaların teknik değerini istatistik teknik ve yöntemlerinden yararlanmak araştırmaların teknik değerinin artıracağı gibi zaman, para ve emek yönünden ekonomi de sağlar çünkü istatistik teknik ve yöntemlerinden yararlanarak daha başlangıçta bazı kör denemelerden kurtulmak, daha da önemlisi, sonuca bağlanabilecek bir araştırma planlayıp yürütmek mümkün olur.
c) İstatistik bilgi ve anlayışı bir bakıma, bilimsel yöntem anlayışı demektir istatistiksel vardama bilimsel vardamanın kendisidir. Bilimsel vardama ise, bilimsel yöntemin yeni bilgiler ortaya koymada çoğu kez kullanıldığı tümevarım (induktive) yöntemidir. Tümevarım yöntemine günümüzde o kadar çok önem verilir ki bazı bilimciler yeni bilgiler ortaya koymanın en iyi yolunun hatta tek yolunun,bu olduğunu savunurlar. Bu savın olup olmadığı tartışılabilir. Ancak, bilimin gelişmesinde tümevarım yönteminin katkısı da inkar edilemez. Herhangi bir alanda sorunlara bilimsel yollarla çözümler bulmaya çalışan bir kimsenin bu denli önemli bir yöntemi yeterince bilmeden tam başarı sağlaması beklenemez.
Unutmamak gerekir ki, bir araştırmanın düzeni teknik yönden hatalıysa,hiçbir istatistik teknik ve yöntemi böyle bir araştırmadan geçer ve güvenilir sonuçlar çıkarma olanağı sağlayamaz; başı ve sonu belirsiz verileri anlamlı hale getiremez. Bu nedenle istatistik bilgi ve anlayışı yalnız veriler toplandıktan sonra değil, araştırmanın düzenlenmesi ve yürütülmesi aşamalarında da gereklidir. Bunu sağlamanın en uygun yolu da istatistik teknik ve yöntemlerini gereğince öğrenmektir.

İSTATİSTİĞİN TARİHSEL GELİŞİMİ


Her bilim dalının olduğu gibi, istatistik biliminin de kendine özgü bir tarihsel gelişimi vardır.
İstatistiğin ilk uygulama çalışmaları, muhtemelen ailelerin, kabilelerin ve devletlerin insan, asker, ekonomik vb. güçlerine ilişkin bilgilerin derlenip kaydedilmesi ile başlamıştır. Günümüzde ortaya çıkarılan belgelerden, M.Ö sonraki devirlerde bile bazı toplumlarda birçok sayımlar yapılıp kayıtlar tutulduğunu öğreniyoruz.
Toplanan bilgilerin istatistiksel teknikler kullanılarak çözümlenmesine ilk kez ne zaman ve kimin tarafından başlandığı tam olarak bilinmiyor. Bu konuda farklı görüşler vardır. Bununla beraber pek çok istatistikçi bu işin bir İngiliz olan Graunt(1620-1674) ile başladığı görüşünü gerçeğe daha yakın bulurlar. Graunt, insan ömrü ile doğum ve ölüm miktarlarının meslekler ve cinsiyetle ilişkilerini incelemiş, istatistik teknik ve yöntemlerini pratiğe uygulayarak çok önemli bir başlangıç yapmıştır.
İstatistik alanında son Y.Y içinde sağlanan hızlı gelişmede daha önce yaşamış matematikçilerin katkısı büyük olmuştur. Bugün ulaştığımız düzeye erişmede istatistiğe duyulan ilgi ve ihtiyaç kadar, matematikçilerin bu ihtiyaçlara cevap olabilecek teknik ve yöntemleri geliştirip hizmete sokmalarının da katkısı vardır.
İstatistiğin tarihsel gelişimi bu yönden ele aldığımız zaman, pek çok matematikçinin bu alana katkıda bulunduğunu görürüz.
İstatistiğin konusu olan olaylar çoğu kez seçkisiz (tesadüfi) etmenlere bağlı olduğundan, bu gibi etmenlerin gözlemler üzerindeki etkisi anlaşılmadan bilim gereğince gelişemez, istatistiksel vardamalarda geçerli genellemeler yapılamazdı. Bu bakımdan, seçkisizlik ilkelerini inceleyen olasılık (ihtimaliyat) hesaplama kuralların da sağlanan gelişmeler istatistiğin evriminde önemli rol oynamıştır. Olasılık konusundaki çalışmaların oldukça eski bir geçmişi vardır. Bu konuda düzenli çalışmalar, İtalyan bilimciler Pacioli(1445-1514) ve Cardano’ nun (1502-1576) zar atma ve öbür şans oyunları hakkındaki yazıları ile başlamış sayılabilir.
Bugün istatistik adını verdiğimiz ilkeler, kurallar, kuramlar, yöntemler, teknikler ve olgular topluluğu ilk kez 18. Y.Y başlarında İsviçreli matematikçi Bernoulli(1654-1705) tarafından düzenlenip matematik yönünden güçlü bir temele oturtuldu. Bernoulli ayrıca günümüz istatistik biliminde çok önemli bir yer tutan olasılık kuramını geliştirmede yararlı çalışmalar yapmıştır. Geliştirilen bu kuram yalnız matematikçileri ve istatistiğe ilgi duyanları ilgilendirmekle kalmamış, Batı Avrupa asilzadeleri arasında da büyük ilgi görmüştür. Çünkü geliştirilen kuram şans ve risk miktarını hesaplama da yararlı olduğu gibi başka uygulama olanakları da sağlıyordu Bernoulli’nin bu yöndeki çalışmaları bir başlangıç oluşturdu; aynı kuram daha sonraları Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Poisson (1781-1840) ve Gauss (1774-1855) tarafından daha da geliştirildi bu gelişmelerin bir kısmı Laplace tarafından yayımlandı.
Öte yandan, bugün normal dağılım dediğimiz ve çağdaş istatistiğin temel taşlarından olan kuramsal dağılımın eşitliği de Moivre tarafından 1733 yılında yayımlandı. Aynı iş daha sonraları Laplace ve Gauss tarafından birbirlerinden bağımsız olarak benzeri sonuçlarla tekrarlandı. Gauss’un bu konudaki katkısı o kadar büyük oldu ki, normal dağılıma bazen Gauss eğrisi de denir.
Nicel işlemleri ilk kez sosyal sorunlara uygulayan ve daha önceki çalışmaları birleştirerek modern istatistiğin temellerini atan da Belçikalı bilimci Quetelet (1769-1874) olmuştur. Quetelet’ten sonra bu alana katkıda bulunanlar arasında Galton’une (1822-1911) önemli bir yeri vardır. Kalıtım üzerindeki çalışmaları ile ün yapan Galton bugün istatistikte kullanılan birçok teknik ve yöntemi uyguladı. On dokuzuncu ve yirminci yüzyıllarda istatistik alanında başında Pearson(1857-1936) ve Fisher’in modern istatistiğe katkısı o kadar çok olmuştur ki kendisi modern istatistiğin babası sayılabilir.
İstatistik bağımsız bir kurs olarak ilk kez 17.yy ortalarında öğretim programlarında yer almaya başladı. Conring (1606-1681) bu alanda mevcut bilgileri ilk kez 1660 yılında Helmstadt Üniversitesinde bağımsız bir istatistik kursu olarak okutmaya başladı. Daha sonraları Göttingen Üniversitesi hukuk ve siyasal bilimleri profesörü Achenwall(1719-1772) konuyu daha da iyi düzenleyerek istatistiğin üniversite programlarına girip yaygınlaşmasını sağladı. İstatistiğin üniversite programlarının doğal bir parçası haline gelmesinde ise Galton, Pearson ve Fisher gibi istatistikçilerin katkısı büyük oldu.

TEMEL KAVRAMLAR SEMBOLLER VE İŞLEMLER

Her bilim dalında olduğu gibi, istatistikte de bu alana özgü bazı temel kavramlar, semboller ve işlemler vardır.


Evren


Herhangi bir gözlem ya da inceleme kapsamına giren obje ya da bireylerin tümüne evren ya da kütle denir. Gözlemin amacına ağlı olarak, evren küçülebilir ya da büyüyebilir. Örneğin eğer bir araştırmacı Türkiye’ de 5 yaşında çocukların oy uzunlukları üzerinde bir inceleme yapmak isterse, araştırmacının evreni, Türkiye’ de 5 yaşındaki çocukların tümünün oluşturduğu gruptur. Öte yandan aşka bir araştırmacı Ankara şehrinde yaşamakta olan 60 yaşından büyük kişilerde bir inceleme yapmak ister ve elde edeceği sonuçları Ankara şehrinin dışında kalan 60 yaşındaki kimselere genelleme amacı taşımazsa, bu araştırmacının evreni de Ankara şehrinde yaşayan ve 60 yaşından büyük olanların oluşturduğu grup olur.
Belirli bir amaç için evren kabul edilen grup aşka bir amaç için evren olmayabilir. Evrenin sınırlarını evreni kimlerin ya da nelerin oluşturduğunu gözlemin amacı ve gözlem sonuçlarının kimlere genelleneceğini belirler. Evrenin sınırlarını belirlemek ve evrenin kimlerden ya da nelerden oluştuğunu ve sayısını saptamak bazen kolay bazen de çok zor atta olanaksız olabilir. Bu zorluklar özellikle evrendeki obje ya da deney sayısını saptamada ortaya çıkar. Çünkü çoğu kez belirli bir evrene girmesi gereken obje ya da bireyleri teker teker bulup ortaya çıkarmak ve saymak olanaksızdır. Örneğin Türkiye’ deki kanserli astalar üzerinde inceleme yapmak isteyen bir araştırmacıyı düşünelim bu araştırmacı için evrenin sınırlarını çizmek, kimlerin evrene girip kimlerin girmeyeceğini saptamak oldukça kolaydır. Çünkü belirli bir zamanda Türkiye’ de yaşayan ve kanserli olan herkes evrene dahildir ve bunun dışında kalanlar dahil değildir. Fakat Türkiye’ deki kanserlilerin hepsini teker teker saptamak ve toplam sayısını çıkarmak olanaksızdır. Çünkü kanserli olduğu ilinenlerin yanında kanserli olup ta bilinmeyen da bir çok kimsenin de bulunduğu bir gerçektir. Türkiye’ deki bütün insanları kısa bir zaman içinde muayene edip kanserli olanları doğru bir şekilde saptama olanağı olmadığına göre bu evrendeki birey sayısını doğru olarak bulmak olanaksızdır.
Evrendeki obje ya da birey sayısını tam bir doğrulukla saptamak, evrendeki sınırlarını belirlemek ve evrenin kimlerden ya da nelerden oluştuğunu belirtmek o kadar önemli olmayabilir. Pek çok durumda evrendeki obje ya da birey sayısını saptama yerine onu belirli yollarla tahmin etmeye çalışırız, incelemelerde de tahmin edilen bu sayıyı kullanırız. Böyle yapmak bir akıma zorunluluktur, bir bakıma da zorunluluktur. Ayrıca istatistikte bazı nitelikleri bilinen bir evrendeki obje ya da birey sayısını oldukça güvenilir ve geçerli bir şekilde tahminde yararlı olabilecek bazı teknikler geliştirilmiştir.
Pek çok araştırma amaçları için evreni oluşturan obje ya da bireylerin tümünü ayrı ayrı gözlemek olanaksız olduğu gibi zorunlu da değildir. Geliştirilmiş olan bazı teknik ve yöntemlerden yararlanarak evrenden seçilecek daha küçük sayıda bir grubu gözleyip elde ettiğimiz yöntemlerden yararlanarak evrenden seçilecek da küçük sayıda bir grubu gözleyip elde ettiğimiz sonuçları evrene genelleme olanağı vardır. İstatistik teknik ve yöntemlerin bir çoğu da bu amaçla geliştirilmiştir. Bu tür istatistik teknik ve yöntemlerinin oluşturduğu bu kısma vardamdı istatistik denildiğini bir önceki bölümden biliyoruz.

Örneklem


Herhangi bir evrenden belirli bir yolla seçilmiş da küçük sayıdaki obje ve bireylerin oluşturduğu gruba örneklem denir. Örneklemden edindiğimiz bilgilere dayanarak evren hakkında var damalarda bulunuruz. Çünkü pek çok durumda asıl amacımız örneklem grubunu tanımlamak değil, evreni tanımak, onunla ilgili sonuçlar çıkararak karar vermektir.
Örneklem grubu üzerinde gözlem sonuçlarını evrene genellerken an az hata ile var damalarda bulunabilmek için örneklemin evreni temsil etmesi, temel nitelikleri yansıtması gerekir. Örneklemin evreni temsil edebilmesi için de en başta yansız olması gerekir. Herhangi bir örneklem grubu seçildiği evreni belirli bir alt evrene ya da bazı niteliklere sahip olanlara gerçekte olduğundan daha çok ya da daha az ağırlık vermeden temel nitelikleriyle yansıtıyorsa, ya da temsil ediyorsa bu gibi örneklemlere yansız örneklemler denir. Öte yandan seçildiği evreni temel nitelikleriyle tam yansıtmaya, bazı alt gruplara ya da daha az ağırlık veren örneklemlere de yanlı örneklemler denir. Yanlı örneklemlerden elde edilecek bilgiler evrendeki durumu tam yansıtmayacağından yanıltıcı olur.
Bu evrenden amaca uygun örneklem seçme işine örnekleme denir. Evrenlerden yansız örneklemler seçebilmek için geliştirilmiş çeşitli örnekleme yöntemleri vardır. Bu yöntemler ve uygulaması istatistiğin çok ilginç bir o kadar da karmaşık çalışma alanlarından biridir. Bir örnekleme işleminde araştırmacının amacına evrenin yapısına ve olanaklara bağlı olarak bu yöntemlerden bir ya da birkaçı birlikte kullanılabilir.
DEĞİŞKEN


Gözlemden gözleme farklı değerler alabilen objelere niteliklere ya da durumlara değişken denir.
Gözlemden gözleme farklı değerler alabilme iki şekilde ortaya çıkar birinci şekilde bir obje ya da bireyin belirli bir niteliği üzerinde iki ayrı zamanda gözlemde bulunup ayrı ayrı değerler gözleyebiliriz. Bir şehirde sıcaklığın sabah ve öğleyin ayrı ayrı ölçülüp farklı sonuçlar bulunması ya da bir çocuğun ağırlığının 6 ay arayla iki kez ölçülüp farklı sonuçlar alınabilmesi gibi. Birinci örnekte değişkenimiz havanın sıcaklığı, ikincisinde ise ağırlıktır. Her iki durumda da gözlemler arasında farklar gözlemlenebileceğinden değişken tanımımıza uymaktadır.
İkinci şekilde ise tek bir nitelikle ilgili gözlem işini yaklaşık olarak aynı zamanda ve başka başka obje ya da bireyler üzerinde ya da ortamlarda yapı faklı sonuçlar alabiliriz. Örneğin günün belirli bir zamanında Türkiye ‘de 25 şehirde hava sıcaklığını ölçüp farklı sonuçlar gözleyebiliriz ya da aynı yaştaki 15 çocuğu tarttığımız zaman ağırlıklarının az çok değiştiğini görürüz. İnceleme konusu yaptığımız sıcaklık ve ağırlık bu durumda da değişken tanımımıza uymaktadır.
Değişkenlerle ilgili veri ya da değişkenleri onlar üzerinde sayma sıralama ya da ölçme gibi işlemleri teker teker ya da bunların birkaçını birlikte uygulamakla elde edebiliriz.
Yukarıda verdiğimiz tanım ve açıklamadan değişkenlerin türleri olabileceği sonucu çıkarılabilir. Aslında değişkenlerin türleri yerine sınıflamasından söz etmek belki daha doğrudur. Değişkenler farklı şekillerde sınıflanabilir. Ancak burada her durum için geçerli sayılabilecek bir sınıflama yapmam yerine uygulamada sıkça kullanılan bazı deyimler örneklerle açıklanacaktır.


Nicel (Kantitatif) Değişkenler


Bu tür değişkenler farklı derecelerde az ya da çok değerler alan değişkenlerdir. Yaş, ağırlık, boy uzunluğu, yıllık ya da aylık gelir, zeka düzeyi, matematik ya da tarih bilgisi, havanın sıcaklığı, hava basıncı, hızı nüfus yoğunluğu vb. nicel değişkenlerdir. Bütün insanlar boy uzunluğu ve ağırlığa sahiptir ancak bunun miktarı kişiden kişiye ya da bir kişi için zamandan zamana değişebilir. Bütün şehirlerde yaşayan insan sayısı şehirden şehire değişir. Bu gibi değişkenleri sayabildiğimiz gibi ölçerek derece sırasına koymak ve bir ölçek üzerinde işaretleme olanağı vardır. Bu tür değişkenlerin çoğu genellikle normal adını verdiğimiz türden bir dağılım gösterir. Bazen de bazı gerçeklerle bunların normal bir dağılım gösterdiği ya da göstereceği kabul edilir.

Nitel (Kalitatif) Değişkenler


Bu tür değişkenler de bir gözlemden öbürüne farklılık gösterirler. Ancak bu farklılık derece yönünden değil kalite ve çeşit yönündendir. Bunlar genellikle sıfat nitelik ya da şöhret olarak adlandırılır. Cinsiyet, medeni durum, milliyet, göz rengi, din ve kişisel nitelikler gibi değişkenler bu türdendir. Her bireyin medeni durumu bekar, evli boşanmış ya da dul kategorilerinden biri olabilir. Bu değişkenlere azlık ya da çokluk durumlarına göre sıraya koyamadığımız için “bir medeni durum, bir milliyet ya da bir din türü ötekilerden daha üstündür ya da daha azdır daha çoktur diyemeyiz. Çünkü bunları gerçek anlamıyla birimlerine ve derecelerine göre sıralamanın yolu yoktur. Öte yandan belirli bir din ya da mezheplerin öbürlerine oranla daha liberal ya da tutucu olduğunu söyleriz, ya da suçları derecelendirmeye ve buna göre ceza dağıtmaya çalışırız. Bu tür değişkenlere göre objeleri ya da bireyleri kategorilere ayırabiliriz ve bu tür kategoriye girenlerin, aynı niteliğe sahip olanların sayısını saptayabiliriz. Bu tür değişkenler daha çok binomal ya da Poisson denilen türden dağılımlar gösterir, bazen de böyle olduğu kabul edilir.
Yukarıdaki açıklamalardan istatistik yöntemlerinin nitel değişkenlerden elde edilen ölçümleri çözümlemede pek yararlı olamayacağı sonucu çıkarılabilir. Aslında durum hiç de öyle değildir. Çünkü bu türden değişkenler için elde edilen ölçümleri çözümlemede kullanılabilecek istatistiksel teknik ve yöntemler de vardır. Bu teknik ve yöntemler özellikle sosyal bilimler için önemlidir. Çünkü sosyal bilimlerde incelenen ölçümlerin büyük bir kısmı nitel türden değişkenler üzerinde yapılan gözlemlerden elde edilir.


İSTATİSTİKSEL VERİLERİ DÜZENLEME


Belirli amaçlar için toplanmış verileri anlamlı hale getirmenin değişik yolları vardır. Bunlar şöyle özetlenebilir:
a) Verileri sözel ifadelerle açıklamak
b) Verileri tablolar halinde düzenlemek
c) Verileri grafikle göstermek
d) Veriler üzerinde hesaplamalar yaparak istatistiksel ölçüler bulmak
e) Yukarıdaki yollardan birkaçını birlikte uygulama
Sözü edilen yollardan hangilerinin kullanılacağı, toplanan verilerin durumuna ve kullanılma amaçlarına bağlıdır.
Verileri anlamlı hale getirmenin en kolay ve kullanışlı yolarından biri, bunları düzenleyerek tablolar haline getirmektir. Böyle bir düzenleme, verilerin bir çok özelliğini kolayca anlamamıza yardım eder ve hesaplarda büyük kolaylık sağlar.
İstatistiksel verilerin oluşturduğu tablolara çoğu kez frekans tablosu denir. Frekans tablosu, ne gibi ölçümlerin gözlendiğini ve bunların her birinin tekrar sayısını, hangi ölçümlerin kaç birey tarafından alındığını gösterir.

Frekans Tablosu Düzenleme


Elimizde tablo 1-1 de gösterilen ölçümlerin olduğunu düşünelim. Bu ölçümler 50 kişilik bir gruba verilen 100 soruluk bir testten alınan puanları göstermektedir. Örnek olarak bir sınavda kullanılan belirli bir testten alınan puanlar seçilmiştir. Çünkü, farklı alanlardaki okuyucular için böyle bir örneğin ortak olacağı düşünülmüştür. Benzeri örnekler başka alanlar için de oluşturulup ilgili işlemler aynen uygulanabilir.
Belirli amaçlar için toplanmış böyle sayısal bilgilere veri demiştik. Tablo 1-1 de görüldüğü gibi, yapılabilecek en basit işlem gözlemleri, en büyük puandan en küçük puana doğru sıralamaktadır.


TABLO 1-1 TEST PUANLARI

86

96

80

77

87

42

86

53

75

74

63

74

30

83

73

54

60

67

75

47

80

35

40

53

77

27

62

59

31

46

96

24

65

66

69

92

90

78

52

58

32

71

67

65

38

51

72

67

64

36

TABLO 1-1

TABLO1-2 PUANLARIN SIRA DAĞILIMI

96
78
69
60
42
96
77
67
59
40
92
77
67
58
38
90
75
67
54
36
87
75
66
53
35
86
74
65
53
32
86
74
65
52
31
83
73
64
51
30
80
72
63
47
27
80
71
62
46
24

TABLO 1-2

Tablo 1-1 ile 1-2 arasındaki tek fark, birinde puanların karışık, öbüründe sıralı oluşudur. Tablo 1-2 ye baktığımız zaman bazı ölçümlerin tekrarlandığını görüyoruz. Örneğin, 96,86, 80, 77, 75, 65, ve53 gibi puanların ikişer tane, 67’nin de üç tane olduğu görülüyor. Bu durumu da dikkate alarak tabloyu yeniden ve biraz farklı biçimde düzenleyebiliriz. Her puanın kaç defa tekrarlandığını (Frekans=f) göstermek için tabloya yeni bir sütun ekler ve f’ leri puanlarla birlikte gösterirsek Tablo 1-3 elde edilir.


TABLO 1-3 PUANLARINSIRALI FREKANS DAĞILIMI

Puan

(f)

Puan

(f)

Puan

(f)

Puan

(f)

Puan

(f)

96

2

77

2

66

1

54

1

38

1

92

1

75

2

65

2

53

1

36

1

90

1

74

2

64

1

52

1

35

1

87

1

73

1

63

1

51

1

32

1

86

2

72

1

62

1

47

1

31

1

83

1

71

1

60

1

46

1

30

1

80

2

69

1

59

1

42

1

27

1

78

1

67

3

58

1

40

1

24

1

Tablo 1-3 de gösterilen puanlar hem sıralı olarak verilmiş, hem de her puanın kaç sefer tekrarlandığı F sütununda gösterilmiştir. Ancak, bir çok amaç için bu kadarı da yeterli değildir. Ayrıca, ölçüm sayısı büyüdükçe ve en büyük ve en küçük ölçümler arasındaki açıklık arttıkça, böyle bir tablo hem kullanışsızdır hem de anlaşılması zordur. Çünkü, bir tablodan anlam çıkarabilmek için, tabloyu bir uçtan öbürüne gözden geçirmek ve bazı karşılaştırmalar yapmak gerekir. Uzun tablolarda bunu yapabilmek zor bazen de olanaksızdır.

Verilerin Gruplanması


Elde edilen ferkans tablosu uzunsa, bundan anlam çıkarmayı ve ilgili istatistiksel işlemleri kolaylaştırmak için, gözlenen ölçümleri teker teker sıralama yerine, gruplama adı verilen bir işlem uygulanır. Gruplamanın amacı, ardışık ölçümleri bir grup ya da kategoride toplamaktır. Bu işleme göre, gözlediğimiz 40, 41, 42, 43 ve 44 gibi puanları aynı grupta kabul eder, hem tabloyu kısaltabiliriz, hem de bir çok istatistiksel işlemlerde bazı kolaylıklar sağlayabiliriz.
Verileri gruplayarak frekans tablosu düzenlemeye karar verdikten sonra yapılacak iş, grup ya da kategori aralarının ne kadar açıklıkta olacağını saptamaktır. Grup açıklığını gösteren katsayıya istatistikte aralık katsayısı denir. Bu katsayıyı a sembolü ile göstereceğiz.

Aralık Katsayısını Saptama

Verileri gruplamada yararlanabileceğimiz uygun bir aralık katsayısı saptamanın her durum için geçerli olabilecek kesin bir kuralı yoktur. Bunun yerine bazı pratik uygulama şekilleri vardır. En sık kullanılan uygulama şekli, gruplamayı, frekans tablosunda 10-25 arasında grup ya da kategori olacak şekilde ayarlamayı öngörür. Grup sayısı 10 dan az olduğu zaman önemli bazı bilgileri kaybetme, 25 den fazla olduğunda da işlemleri zorlaştırma gibi durumlarla karşılaşılabilir.
Elimizde 10-25 arasında grup bırakacak uygun aralık katsayısı, deneme yanılma yoluyla saptanabileceği gibi, bu konuda yararlı olabilecek pratik bir yolda vardır. Bu yolun uygulama şekli şöyledir;
a) Frekans tablosunun yaklaşık olarak kaç grup ya da kategoriden oluşması istendiği saptanır.
b) Gözlenen en büyük en küçük ölçüm çıkarılır.
c) En büyük ölçümle en küçük ölçüm arasında fark, (a) basamağında bulunan sayıya bölünür.
Yukarıda açıklanan yolla elde edilen sayı, frekans tablosunda istenen sayıda grup bulundurmak için uygun aralık katsayısının yaklaşık değerini gösterir. Bu sayıyı olduğu gibi kabul etmek zorunlu değildir. Çünkü, söz konusu yol, aralık kat sayısının ne olabileceği konusunda bazı ipuçları verir; asıl sayıyı saptama bizim işimizdir. Bulunan sayıdan daha küçük ya da büyük bir sayı aralık katsayısı olarak alınabilir.
Seçilecek olan aralık katsayısının durumu da istatistiksel işlemleri etkiler. Örneğin verileri istatistiksel işlemlerden geçirirken çarpma ve bölme gibi işlemleri kullanacaksak, ki pek çok durumda kullanırız, aralık katsayısının çarpma ve bölme kolaylığı sağlayacak bir tam sayı olması yararlı olur. Ayrıca, bazı durumlarda, aralık katsayısının bir tek sayı olması da istenir. Çünkü aralık katsayısı tek sayı alındığı zaman, aralıkların orta noktaları birer tam sayı olur ve bir çok işlemi kolaylaştırır. Değişik amaçlar için en uygun aralık katsayıları; 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 50, 100, 500, 1000 vb. sayılardır.

Grupların Oluşturulması

Aralık katsayısı saptandıktan sonra yapılacak iş, gruplamaya hangi sayıdan başlanacağını kararlaştırmaktır. Gruplamaya öyle bir sayıdan başlamak ve öyle bir yerde bitirmek gerekir ki en alttaki grup gözlenen en küçük ölçümü, en üstteki grup da en büyük ölçümü içine alsın. Bunu sağlayabilmek için de, ya gözlenen en küçük ölçümü ya da ondan daha küçük bir sayıyı gruplamanın başlangıç noktası almak gerekir. Başlangıç noktasını aralık katsayısının katı olan bir sayı almak bir çok kolaylık sağlamaktadır. Gözlenen en küçük ölçüm, seçilen aralık katsayısının tam bir katı ise, onu başlangıç noktası alıp gruplamayı gereğince yapmalıdır. Gözlenen en küçük ölçüm, aralık katsayısının tam bir katı değil ise, ondan küçük ve ona en yakın, aynı zamanda aralık katsayısının tam katı olan sayıyı başlangıç noktası almak uygun olur.
Şimdi tablo 1-3 de verilen puanları gruplanmış olarak yeniden düzenleyelim. Bunun için, yeni tablomuzda 15 kadar grup ya da kategori istediğimizi düşünelim. Bundan sonra yapılacak iş, uygun aralık katsayısını saptamadır. Daha önce sözümüzü ettiğimiz yoldan yararlanırsak,

Tahmini Aralık Katsayısı=


eşitliği elde edilir. Bilinen değerleri bu eşitlikte yerine koyarsak:
Tahmini Aralık Katsayısı= bulunur.
Buna göre, eğer gruplama sonunda elimizde 15 civarında bulunmasını istersek, bunu gerçekleştirebilecek en uygun katsayı 4 ile 5 arasında bir sayıdır. İşlem kolaylığı sağlamak için katsayıyı 5 olarak, yani a=5 alalım.
Gözlenen puanların en küçüğü 24 olduğundan, bunu başlangıç noktası alıp grupları beşer aralık yapabiliriz. Yalnız en küçük puanın aralık katsayısının tam katı olmadığı durumlarda, grupların başlayış ve bitiş noktalarını saptama, özellikle büyük sayılarda, hem zaman alır, hem de bazı yanlışlar yapmayı kolaylaştırır. Kolaylık için, 24’ e en yakın ve 5’ in tam katı olan 20 bu aralığa rastladığından bundan sonraki gruplar bu ilkeye uyarak kolayca saptanabilir. Bu yolla elde edilen gruplar tablo 1-4 de gösterilmiştir. Görüldüğü gibi, gruplar beşer beşer büyüyüp küçülmekte ve büyüyüp küçülme oranı daima aralık katsayısına eşit olmaktadır.

Tablo 1-4 Puanların Gruplanmış Frekans Dağılımı

Grup Aralığı

Çetele(işaretle)

Frekans(f)

95-99

II

2

90-94

II

2

85-89

III

3

80-84

III

3

75-79

IIII

5

70-74

IIII

5

65-69

IIII-II

7

60-64

IIII

4

55-59

II

2

50-54

IIII

5

45-49

II

2

40-44

II

2

35-39

III

3

30-34

III

3

25-29

I

1

20-24

I

1

n=50

Gruplar saptandıktan sonra, her gruba kaçar kişi düştüğü, yani gruplardaki frekans sayısı bulunur. Eğer frekansların toplamı büyük değil ise ve gözlenen ölçümler sıralı ise, bunlar kolayca sayılıp, tablo 1-4 te f sütununda olduğu gibi sayılarla belirtilebilir. Frekans sütununun toplamı da gözlenen ölçüm sayısına eşit olmalıdır. Bu toplam, duruma göre, n ya da N ile gösterilir. Eğer gözlenen ölçümler sırada değil ve n sayısı da büyük ise, f sütuna geçmeden bir “çetele” sütunu ayrılarak ölçümler her aralığa rastlayan ölçümler (I) işaretiyle gösterilir. Bu işaretlerden dört tanesi yan yana, beşincisi de onların üzerine çizilir; böyle yapmak sayma kolaylığı sağlar. Gözlenen ölçümlerin hepsi bu şekilde çetelendikten sonra, her aralıktaki çetele sayısı sayılıp f sütununa sayı olarak yazılır. Tablo 1-4 te gözlendiği gibi “çetele” sütunu toplamı ile f sütunu toplamı daima birbirine eşittir. Bu iki sütunun toplamları birbirine ve gözlenen ölçüm sayısına eşit değilse, işlemin kontrol edilip yanlışlığın düzeltilmesi gerekir.

Grup Aralıklarının Gerçek Sınırları

Daha önce de belirtildiği gibi, bir incelemede ilgilendiğimiz değişken sürekli türden ise, gözlemden elde ettiğimiz ölçümler daima en yakın tama tamamlanmış şekilde olur. Gerçekte ise, sürekli bir değişkenle ilgili ölçümlerin, kullanılan ölçü biriminin yarım birim altından başlayıp yarım birim üstüne kadar devam ettiğini biliyoruz. Bir ölçümün gerçekte başladığı ve bittiği noktalara ilgili ölçümün gerçek sınırları denir. Aynı durumu grup aralıkları için de düşünebiliriz. Bu grup aralığının gerçekte başladığı ve bittiği noktalara aralığın gerçek sınırları denir. Gerçek sınırların başladığı noktaya alt sınır ya da başlangıç noktası, bittiği noktaya da üst sınır ya da bitiş noktası denir.
Bir çok istatistiksel işlem için gerçek sınırların bilinmesi gerekir. Çünkü, bazı istatistiksel ölçülerin hesaplanmasında bunlar kullanılır. Aralıkların gerçek sınırlarında saptama, sayıların gerçek sınırını saptama gibidir. Buna göre, tablo 1-4 ten 55-59 aralığını örnek alırsak, bu aralığın gerçek sınırları 54,5 ve 59,5 olur. Bu demektir ki bizim 55-59 arasında değer verdiğimiz ölçümler, daha duyarlı bir ölçüm aracı kullanılsaydı, 54,5-59,5 arasında değişecekti. Tablo 1-4 te verilen grupların gerçek sınırları tablo 1-5 te gösterilmiştir.

Bir Grup Aralığına Rastlayan Ölçümlerin Dağılımı

Gözlem sonunda elde edilen verileri gruplamak, bireysel ölçümlerle ilgili az çok bilgi kaybına neden olur. Obje ya da bireylerin ölçümleri birbirinden farklı olabilir; fakat bunlardan ardışık olanların bir kısmı aynı gruba konarak tek ölçüm işlemi yapılır. Örneğin, 80-84 aralığına rastlayan puanlar 83,80 ve 80 olduğu halde, kimlerin 83 ve kimlerin 80 aldığını dikkate almaksızın hepsi 80-84 arasında sayılır. Gruplanmış verilerden bazı istatistiksel ölçüleri hesaplayabilmek ve verileri grafikle gösterebilmek için, bir aralığa rastlayan verilerin aralık boyunca gösterdiği dağılımla ilgili bazı sayıltılarda bulunmak gerekir. Verilere uygulanacak işleme bağlı olarak, farklı sayıltılar kabul edilir. Bunlar arasında uygulamada sık sık başvurulan iki temel sayıltı vardır. Bunlardan biri herhangi bir aralığa rastlayan ölçümlerin ilgili aralığın gerçek sınırları boyunca eşit olarak dağıldığını ön görür. Aralık katsayısı ve bir aralığa rastlayan frekans sayısı ne olursa olsu, bu sayıltı sık sık yapılır. Ortanca, yüzdelik, çeyrekler gibi istatistiklerin hesaplanmasında ve bargrafik ya da histogram dediğimiz bir grafiğin çizilmesinde bu sayıltı gereklidir. Bu sayıltıya göre, tablo 1-4 teki 70-74 aralığını alırsak, bu aralıktaki beş puanın şöyle bir dağılım gösterdiği kabul edilir.

Aralık

Frekans

73,5-74,5

1

70-74

72,5-73,5

1

71,5-72,5

1

70,5-71,5

1

69,5-70,5

1

Toplam:

5

Aynı şekilde, 55-59 aralığına rastlayan iki puanın da aralık boyunca, eşit olarak ve 0,4 lük bir frekansla dağıldığı kabul edilir. Bu sayıltılardan sonra, herhangi bir aralığı en iyi temsil eden tek bir değer bulmak istersek bunun, aralığın tam ortasına rastlayan nokta olduğu görülür.
Uygulamada kullanılan ikinci bir sayıltı da, bir aralığa rastlayan ölçümlerin tümünün aralığın orta noktası üzerinde yığıldığını öngörür. Başka bir deyişle, bu ikinci sayıltı, bir aralığa rastlayan ölçümlerin hepsinin aynı ve aralığın orta noktasını gösteren değere eşit olduğunu kabul eder. Bu sayıltı da ortalama ve standart kayma gibi istatistiksel ölçülerin hesaplanması ve frekans poligonu dediğimiz bir grafiğin çizilmesi için gereklidir. Yukarıda açıklandığı gibi, bir aralığın orta noktası, aralığın gerçek sınırları arasının iki eşit parçaya bölen noktadır. Bu noktaya aralık değeri, sınıf değeri, grup değeri ya da aralık indeksi gibi adlar da verilir.
Yukarıdaki sayıltıların ikisi de bir aralığın e iyi temsilcisi olarak aralığın orta noktasını almaktadır. Bir çok hesaplamalarda bu nokta kullanıldığından hesaplanması üzerinde kısaca durmak yararlı olur.
Yukarıdaki tanıma göre orta noktanın formülünü şöyle yazabiliriz:
Orta Nokta = Aralığın Alt Sınırı +

Bu formül 50-54 aralığına uygulanırsa:

Orta Nokta = 49,5 + elde edilir.
Aynı formül ile tablo 1-4 te gösterilen diğer aralıkların orta noktaları hesaplanıp tablo 1-5 te “orta nokta” sütununda gösterilmiştir.