Ortalamalar

ORTALAMALAR

1.Aritmetik Ortalama

1.1.Aritmetik Ortalamanın Tanımı

Bir istatistiksel dağılımın aritmetik ortalaması dağılımdaki terimler toplamının terim sayısına (sıklığına) oranıdır; söz konusu ortalama için x simgesi kullanılacaktır.
Dizilerde aritmetik ortalamanın hesabında aşağıdaki formül kullanılır :
n
∑ xi
x = i=1 (1-1)
n

1.2.Bölümlendirilmemiş Sıklık Dağılımının Aritmetik Ortalaması

Sıklık dağılımlarında aritmetik ortalama hesabında kullanılan formül aşağıdaki gibidir:

k
∑ xini
x = i=1 (1-2)
k
∑ ni
i=1

k
∑ xіni yazılımı, sıklık dağılımlarında terimlerin her birinin sıklıklarıyla çarpımlarının
i=1
toplamını göstermektedir. Toplam eğer dağılımdaki bütün terimler için alınıyorsa (∑) simgesindeki indislere yer verilmez.

-Aşağıdaki çizelgede incelenen 100 ailenin evlerinin oda sayısına göre dağılımı gösterilmiştir.

Oda sayısı Aile sayısı
1 15
2 18
3 25
4 20
5 12
6 6

1. Söz konusu sıklık dağılımının terimlerini, sıklıklarını, sıklıklar toplamı ile terimler toplamını simgelere yer vererek belirleyiniz.
2. Sıklık dağılımının aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

Aileler evlerinin oda sayısı niteliğine göre incelendiği için, bu değişkenin değerleri sıklık dağılımının terimleri, aile sayısı ise söz konusu terimlerin sıklıkları durumundadır. Terim sayısı, yani sıklıklar toplamı ∑ ni =100’dür. Terimler toplamının belirlenebilmesi için her terimin hizasındaki sıklıkla çarpılıp, söz konusu çarpımlar toplamının belirlenmesi gerekir; bu amaçla sıklık dağılımında kesinlikle “xini ” sütunu açılır.
Açıklamaların ışığında sıklık dağılımı yeniden aşağıdaki gibi yazılacaktır.

xi ni xini
1 15 15
2 18 36
3 25 75
4 20 80
5 12 60
6 6 36
7 4 28
100 330

Sıklık dağılımının terimler toplamı, yani ∑ xini= 330’dur. Aritmetik ortalama aşağıdaki gibi belirlenir:

x = ∑xini = 330 = 3,3
∑ni 100

1.3. Bölümlendirilmiş Sıklık Dağılımının Aritmetik Ortalaması

Bölümlendirilmiş dağılımdabelirli sınırlar arasında kalan terimlerin değerleri
hakkında bilgi yoktur. Bu durumda böyle bir dağılımın ortalamasını hesaplayabilmek için her bölümdeki terimlerin aldığı kıymetler için bir varsayım ileri sürmek gerekir; genellikle bir bölümün içinde bulunan kıymetlerin, alt ve üst sınırların aritmetik ortalamasına eşit olduğu varsayılır. Benimsenen bu varsayıma dayanak bölümlendirilmiş dağılım sıklık dağılımına dönüştürülür ve (1-2) numaralı formül kullanılarak aritmetik ortalaması hesaplanır.

-Çizelge 1.1’de yer alan verilere dayanarak 200 ailenin toplam haftalık gelirini, sonra da haftalık ortalama gelirini, hesaplayınız. Gerek toplam haftalık gelirin, gerekse ortalama haftalık gelirin hangi varsayıma göre belirlendiği açıklayınız; hesaplamayı kolaylaştıracak çizelge düzenlemesini gerçekleştiriniz.

ÇÖZÜM:

Çizelge 1.1

200 ailenin haftalık gelirlerinin dağılımı

Haftalık gelir Aile sayısı xi xini

bölümleri
Bin TL
25.000 – 30.000 20 27.500 550.000

30.000 – 40.000 20 35.000 700.000
40.000 – 50.000 68 45.000 3.060.000
50.000 – 60.000 57 55.000 3.135.000
60.000 – 85.000 20 72.500 1.450.000
85.000 – 100.000 15 92.500 1.387.500
200 10.282.500

Çizelge 1.1’deki bölümlendirilmiş dağılımın bölümlerin alt ve üst sınırlarının aritmetik ortalaması hesaplanarak sıklık dağılımına dönüştürülür: (25.000 + 30.000)/2 = 27.500, (30.000 + 40.000)/2 = 35.000, (85.000 + 100.000)/2 = 92.500. Bölüm aritmetik ortalamaları olan bu değerler için xi simgesi kullanılacaktır; söz konusu değerler yukarıdaki çizelgenin üçüncü sütununda gösterilmiştir.
Toplam haftalık gelir, bölüm ortalama değerleri ile sıklıkların çarpımlarının toplamına eşittir : ∑xini
Bu durumda 200 ailenin toplam haftalık geliri ∑xini = 10.282.500 bin TL’dir.

Haftalık gelir ortalamasını belirlemek için aritmetik ortalamayı hesaplamak gerekir:

x = ∑xini = 10.282.500 = 51.412,5 bin TL
∑ni 200

1.4. Aritmetik Ortalamanın Özellikleri
Aritmetik ortalama çeşitli matematiksel özelliklere sahiptir. Bunları basit seri formülleri yardımıyla ispatlayalım.

1.Özellik : Aritmetik ortalamanın terim sayısı ile çarpımı seri toplamına eşittir.


x = ∑ xi
n
eşitliğin her iki tarafını n ile çarparsak

n x = n∑ xi
n

olur.Buradan da

n x = ∑ xi
sonucuna ulaşılır.

2.Özellik : Terimlerin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının toplamı sıfırdır.

∑ ( xi – x ) = ∑ xi – nx
şeklinde parantez kaldırıldıktan sınra, eşitliğin sağ tarafındaki ∑ xi yerine eşiti olan nx 1.özelliğe göre konulabilir. Böylece

∑ xi – nx = nx – nx

ve dolayısıyla
∑ ( xi – x ) = 0
olur.
Bu özellik bir yandan ortalama sapmanın mutlak farklarla hesaplanması zorunluluğunu yaratırken, öte yandan regresyon ve korelasyon çözümlemesinde hesaplama kolaylığı sağlamaktadır.

3.Özellik : Terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimumdur.
Söz konusu toplamın, terimlerin diğer herhangi bir değerden (sözgelimi P’den) sapmaların kareleri toplamından daha küçük olması da aynı anlamı taşır.

∑ ( xi – P )² = ∑ [ ( xi – x ) + ( x – P )]²
= ∑ ( xi – x )² + 2 ( x – P ) ∑ ( xi – x ) + n ( x – P )²

2.özelliğe göre,

∑ ( xi – x ) = 0
olduğu için,

∑ ( xi – P )² = ∑ ( xi – x )² + n ( x – P )²

eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte ( x – P )² ve dolayısıyla n ( x – P )² pozitif olduğuna göre,

∑ ( xi – P )² > ∑ ( xi – x )²
olacaktır.

4.Özellik : Bir serinin bütün terimlerine aynı sayıyı eklersek (çıkartırsak) aritmetik ortalama eklenen (çıkartılan) sayı kadar artar (azalır).
Terimlere K sayısını eklediğimizi varsayalım. Bu durumda yeni serinin terimleri xi+K şeklinde ifade edilecektir. Bunların aritmetik ortalamasını bulalım.

∑ (xi + K) = ∑ xi + nK = x + K
n n

Terimlerden K sayısını çıkartsaydık,

∑ (xi – K) = ∑ xi – nK = x – K
n n

olurdu.

5.Özellik : Bir serinin bütün terimlerini aynı sayıyla çarptığımızda (böldüğümüzde) aritmetik ortalama çarptığımız (böldüğümüz) sayıyla orantılı olarak büyür (küçülür).
Terimleri L sayısıyla çarptığımızı varsayalım. Bu durumda yeni serinin terimleri Lxi olacaktır. Bunların aritmetik ortalamasını bulalım.

∑ Lxi = L∑ xi = Lx
n n

Terimleri L sayısına bölseydik,
xi 1
∑ L = L∑ xi = 1 x = x
n n L L


olurdu.

6.Özellik : Aritmetik ortalama çok duyarlı bir ortalamadır.
Çünkü serinin bütün terimleri aritmetik ortalamayı etkiler. Hele seride aşırı değerler bulunuyorsa bundan aritmetik ortalama çok etkilenir ve dolayısıyla temsili olma niteliğini kaybeder.
7.Özellik : İki serinin bütün terimleri karşılıklı olarak toplanarak (çıkartılarak) elde edilen serinin aritmetik ortalaması bu serilerin aritmetik ortalamalarının toplamına (farkına) eşittir.


∑ (xi + yi) = ∑ xi + ∑yi = ∑ xi + ∑ yi = x + y
n n n n

∑ (xi – yi) = ∑ xi – ∑yi = ∑ xi – ∑ yi = x - y
n n n n

Bütün bu özellikleri aşağıdaki örnek üzerinde açıklayalım.

ÖRNEK :

Xi

3

4

5

7

11

30

Bu serinin aritmetik ortalaması x = 30 / 5 = 6’ya eşittir. Aritmetik ortalamanın terim sayısı ile çarpımı 6 (5) = 30’dur. Bilindiği gibi, 30 ise seri toplamıdır.
Terimlerin aritmetik ortalamadan cebirsel sapmalarının toplamı aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi 0’a eşittir.

Xi – X

3-6 = -3

4-6 = -2

5-6 = -1

7-6 = +1

11-6 = +5

0

Terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı ile yine terimlerin diğer herhangi bir değerden (sözgelimi P = 7’den) sapmalarının kareleri toplamını kıyaslayalım.



Xi – X ( Xi – X )² Xi – X (Xi – X )²
3-6 = -3 9 3-7 = -4 16
4-6 = -2 4 4-7 = -3 9
5-6 = -1 1 5-7 = -2 4
7-6 = +1 1 7-7 = 0 0
11-6 = +5 25 11-7 = +4 16
40 45
Bu durum terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamının minimum olduğunu göstermektedir.
Serinin bütün terimlerine bir defa 3 sayısını ekleyelim, bir defa da bütün terimlerden 2 sayısını çıkartalım.

Xi Xi + 3 Xi – 2
3 6 1
4 7 2
5 8 3
7 10 5
11 14 9
Toplam 30 45 20
Ortalama 6 9 4

Görüldüğü gibi, bütün terimlere 3 sayısı eklendiğinde aritmetik ortalama da 3 artmakta, buna karşılık bütün terimlerden 2 çıkartıldığında aritmetik ortalama 2 azalmaktadır.
Şimdi de serinin bütün terimlerini bir defa 3 sayısıyla çarpalım, bir defa da 2 sayısıyla bölelim.

Xi 3Xi Xi / 2
3 9 1,5
4 12 2,0
5 15 2,5
7 21 3,5
11 33 5,5
Toplam 30 90 15,0
Ortalama 6 18 3,0

Serinin bütün terimlerini 3 sayısıyla çarptığımızda ortalama 3 katına yükselmiş, buna karşılık 2 sayısıyla bölünen terimler aynı ortalamayı yarısı düzeyine indirmiştir.
Bu defa serinin son terimini değiştirelim ve 11 yerine 111 sayısını koyalım.

Xi Xi
(Eski) (Yeni)
3 3
4 4
5 5
7 7
11 111
Toplam 30 130
Ortalama 6 26

Görüldüğü gibi, seriden son terimin çıkartılması ve yerine aşırı bir değerin konulması ortalamayı aşırı ölçüde etkilemektedir.
Nihayet aşağıdaki xi ve yi serilerinin terimlerini karşılıklı olarak bir defa toplayalım, bir defa da çıkartalım.


Xi Yi Xi + Yi Xi - Yi
18 10 28 8
25 16 41 9
39 24 63 15
42 27 69 15
56 43 99 13
Toplam 180 120 300 60
Ortalama 36 24 60 12

Görüldüğü gibi, 36 + 24 = 60 ve 36 – 24 =12 eşitlikleri sağlanmıştır.
Aritmetik ortalama yukarıdaki özellikleri dolayısıyla matematiksel işlemlere çok elverişlidir. Ayrıca hesabı kolay ve anlamı açık olduğundan uygulamada en çok yararlanılan ortalama niteliğini kazanmıştır. Nitekim ortalama denildiğinde akla hemen aritmetik ortalama gelir. Aritmetik ortalamayı sakıncalı kılan bazı nedenler bulunduğunda ise, başka bir ortalama üzerinde durmak gerekir.


1.5. Aritmetik Ortalamanın Kısa Yoldan Hesaplanışı

Aritmetik ortalaması hesaplanacak dağılımda terim sayısı fazla ve terimler büyük rakamlarsa, (1-1) veya (1-2) numaralı formüllerden faydalanmak uygun olmaz; sözü edilen durumda, terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamının sıfıra eşitliği özelliğinden faydalanılır. Aritmetik ortalamayı bu özelliğe dayanarak kısa yoldan hesaplayabilmek için terimler arasından aritmetik ortalamaya en yakın değer aldığı düşünülen ve x0 simgesiyle gösterilen terim geçici ortalama olarak benimsenir. Geçici ortalama genellikle en büyük sıklığa sahip terimdir. Dağılım terimlerin benimsenen geçici ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamı sıfırsa,

x0 = x olur.
Eğer terimlerin aritmetik ortalamadan olan sapmalarının cebirsel toplamı sıfırdan farklıysa, düzeltme etkeni kullanılarak gerçek ortalamaya ulaşılır; ilgili işlemler aşağıda aşamalar halinde açıklanmıştır.
İncelenen dağılımın her teriminin geçici ortalamadan olan sapmasının bölüm aralığına oranı aşağıdaki gibi gösterilecektir:

ui = xi – x0
c

X ve U değişkenleri arasında varolan ilişkiye dayanarak aritmetik ortalamanın kısa yoldan hesaplanışında kullanılacak olan formül diziler için aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.

uic= xi – x0 x

∑xi – nx0

c∑ ui = ∑ xi - n xo
n n n

cu = x- x0

x = cu + x0 (1-3)

(1-3) numaralı formülün çıkarılışında diziden faydalanılmakla beraber, sıklık ve bölümlendirilmiş dağılımların aritmetik ortalamalarının “kısa yoldan” hesaplanılışında aynı formül kullanılır.

- Aşağıda gösterilmiş olan bölümlendirilmiş dağılımın aritmetik ortalamasını “kısa yoldan” hesaplayınız; söz konusu hesaplama tekniğinin aritmetik ortalamanın hangi özelliğine dayandırıldığını açıklayınız.

Bölümler (TL) ni xi xi – x0 ui uini
1000-1100 7 1050 -300 -3 -21
1100-1200 13 1150 -200 -2 -26
1200-1300 25 1250 -100 -1 -25
1300-1400 35 1350 0 0 -
1400-1500 15 1450 100 1 15
1500-1600 5 1550 200 2 -10
100 -47

ÇÖZÜM:

(1) Bölümlendirilmiş bir dağılımın aritmetik ortalamasının hesabı söz konusu ise, hesaplama tekniği ne olursa olsun, bölümlerin yerine bölüm ortaları alınır, çizelgede xi’ler için yeni bir sütun açılır;
(2) Bölümlendirilmiş dağılım sıklık dağılımına dönüştürüldükten sonra terimler arasından en büyük sıklığa sahip olan geçici ortalama olarak seçilir; verilen örnekte en büyük sıklık 35 olduğuna göre, geçici ortalama x0 = 1350,-TL olacaktır;
(3) xi terimlerinin her birinin x0’dan olan cebirsel sapması belirlenir, çizelgede yeni bir sütunda gösterilir;
(4) Belirlenen sapmalar bölüm aralığına oranlanır, örneğimizde bölüm aralığı c = 100,-TL dir ve söz konusu işlem sonucunda ui terimleri elde edilir. Bölümlendirilmiş bir dağılımın bölüm orta noktaları olan xi lerin yerine geçirilen ui terimleri aslında tek aşamada belirlenir, xi - x0 sapmalarına yer verilmez.
(5) Küçültülmüş ui terimlerinin aritmetik ortalaması u hesaplanır. Bölümlerin yerine geçirilen xi lerin küçültülmüş değerleri olan ui’ler, xi lerin sıklıklarına sahiptir. Başka bir anlatımla ui terimleri bir sıklık dağılımının terimleridir; bu terimlerin aritmetik ortalaması olan u aşağıdaki formülle hesaplanır:

u = ∑ uini
∑ ni

∑ uini çizelgenin son sütununda (-47) olarak belirlenmiştir:

u = -47 = -0,47
100
(6) Küçültülmüşterimlerin ortalaması bölüm aralığı (c) ile çarpılır:

c u = 100 (-0,47) = -47

(7) c uçarpımına x0 geçici ortalaması ilave edilerek xi’ler dağılımının aritmetik ortalaması belirlenir :

x = cu + x0 = -47 + 1350 = 1303,-TL

1303,-TL olarak hesaplanan aritmetik ortalama görüldüğü gibi dağılımın en küçük
terimi olan 100,-TL’den büyük, dağılımın en büyük terimi olan 1600,TL’den küçüktür; böylece merkezi eğilim ölçüleri için geçerli temel özellik bu ortalamada da gözlemlenmektedir.
1303,-TL değerindeki aritmetik ortalama küçültülmüş ui terimleri yardımıyla, yani “kısa yoldan” hesaplanışı, terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamının sıfıra eşit olmasına dayandırılmaktadır.

1.6. Aritmetik Ortalamanın Fayda ve Sakıncaları

Aritmetik ortalama kavram olarak basittir, hesaplanılması kolay olduğu gibi cebirsel işlemlere de elverişlidir. Bu bakımdan en çok kullanılan ortalamadır.
Aritmetik ortalama dağılımdaki terimlerden herhangi birinde meydana gelen kıymet değişikliğinden etkilenir; bu özellik aritmetik ortalama için bir üstünlük olduğu kadar, sakıncalıdır aynı zamanda. Dağılımda terim sayısının az olması durumunda olağanüstü küçük veya büyük terimler aritmetik ortalamanın değerini etkiler ve simgeleyici olmasını engeller.
Diğer taraftan dağılımın alt ve/veya üst sınırının belirsiz olması durumunda aritmetik
ortalamayı hesaplamak olanaksızdır; belirsiz olan sınırlar için yapılacak kestirimler, ortalamanın kesin değerinin hesaplanılmasına olanak vermeyecektir. Bu bakımdan sözü edilen iki durumda dağılım terimlerini normal büyüklüğünün belirlenmesinde aritmetik ortalama kullanılmamalıdır.

2.Geometrik Ortalama

2.1.Tanımlar ve Formüller

Daha önce verilen ve aşağıda tekrar yer alan (1-4) numaralı geometrik ortalama formülünde görüldüğü gibi bu ortalama dağılımdaki terimler çarpımının terim sayısı derecesinden köküne eşittir:

G = n√∏xi (1-4)

Geometrik ortalama formülünde yer alan (∏) simgesi 3,1416 sabit sayısı olmayıp terimlerin birbirleriyle çarpımının alınacağını göstermektedir. Dağılımda terimlerin sayısı fazla olduğunda geometrik ortalamanın hesaplanılmasında logaritmadan faydalanılır:

Log G = log n√∏xi
Log G = 1 log∏xi
n
Log G = 1 ∑logxi = ∑logxi (1-5)
n n
Sıklık dağılımlarında geometrik ortalama formülü

G = ∑ni√∏xini (1-6)

şeklindedir; logaritması alınınca aşağıdaki eşitlik elde edilir:

Log G = ∑nilogxi (1-7)
∑ni

Bölümlendirilmiş dağılımın geometrik ortalamasını hesaplayabilmek için bütün duyarlı ortalamaların belirlenmesinde olduğu gibi bölümlerin yerine bölüm ortaları alınır, böylece bir sıklık dağılımı meydana getirilmiş olur. Bundan sonra geometrik ortalama (1-6) veya (1-7) numaralı formüller yardımıyla hesaplanır.

- Aşağıdaki bölümlendirilmiş dağılımın geometrik ortalamasını logaritma yardımıyla hesaplayınız.

Bölümler ni
50 – 150 5
150 – 250 11
250 – 550 18
550 – 1050 26
1050 – 2150 10
2150 – 4250 10
80

ÇÖZÜM:

Bölümlendirilmiş dağılımın geometrik ortalamasını hesaplayabilmek için, hangi hesaplama tekniği benimsenirse benimsensin önce sıklık dağılımı oluşturulur. Logaritma yardımıyla çözüm yapılacağına göre terimlerin logaritmaları alınır; bölümlerin yerine terimlerin geçirilmesi ve terimlerin logaritmasının alınması Çizelge 2.1’de gösterilmiştir.
Çizelgenin son sütununda terimlerin logaritmalarından oluşan sıklık dağılımının aritmetik ortalaması hesaplandığında, asıl dağılımın geometrik ortalamasının logaritması belirlenmiş olur:



Log G = ∑nilogxi = 224,72145 = 2,80902
∑ni 80

Çizelge 2.1

Bölümlendirilmiş dağılımın geometrik ortalamasının logaritma

yardımıyla hesaplanması

Bölümler ni xi log xi ni log xi

50 – 150 5 100 2,00000 10,00000
150 – 250 11 200 2,30103 25,31133
250 – 550 18 400 2,60206 46,83708
550 – 1050 26 800 2,90309 75,48034
1050 – 2150 10 1600 3,20412 32,04120
2150 – 4250 10 3200 3,50515 35,05150
80 224,72145

Bu değerin antilogaritması alınarak xi’lerden oluşan dağılımın geometrik ortalaması hesaplanır:

G = antilog 2,80902 = 644,2

Belirlenen geometrik ortalama değeri serinin en küçük teriminden daha büyük, en büyük teriminden daha küçük bir değer olduğuna göre, hesaplamada mantık yanılgısı söz konusu değildir.

2.2.Geometrik Ortalamanın Özellikleri

Geometrik ortalamanın da çeşitli matematiksel özellikleri vardır. Basit serilere ait formüller yardımıyla bunları ispatlayalım.

1. Özellik : Geometrik ortalamanın (n)’inci kuvveti alındığında terimlerin çarpımına ulaşılır.

Aşağıdaki şekilde de ifade edilebilecek geometrik ortalama formülünün her iki
tarafının (n)’inci kuvveti alındığında bu özelliğin gerçekleştiği görülür.

G = ( x1.x2...xn)1/n

Gn = x1.x2...xn

Diğer geometrik ortalama formülünün her iki tarafını n ile çarpmak suretiyle de
aynı sonuca ulaşılabilir. Şöyle ki,

Log G = ∑logxi
n

n.log G = ∑logxi = log x1+log x2+...+log xn
= log (x1.x2...xn)

Gn = x1.x2...xn

2. Özellik : Aritmetik ortalamanın ∑(xi - x) = 0 özelliğine karşılık geometrik ortalamada (x1/G) . (x2/G) ... (xn/G) = 1 ilişkisi vardır.

Diğer bir deyişle, seri terimlerinin geometrik ortalamaya oranlarının çarpımı bire eşittir. Bu eşitlik ∑(xi - x) = 0 ifadesinin aynıdır. Fark ise, işlemlerin logaritmik değerler üzerinden yapılmasıdır.

(x1/G) . (x2/G) ... (xn/G) = 1
(x1 . x2 ... xn) / (G.G...G) = 1
Eşitliğin her iki tarafının logaritmasını alalım.

(log x1+log x2+...+log xn) – (logG + logG +...+ logG) = log1
Buradan ∑ logxi – nlogG = 0 sonucu elde edilir.
logG = (∑ logxi)/n olduğuna göre nlogG = ∑ logxi’dir. Bu sonucu yukarıdaki son eşitliğe uygularsak,
nlogG – nlogG = 0
olur. Bu duruma göre, bu ikinci özelliği " terimlerin logaritmaları ile geometrik ortalamanın logaritması arasındaki cebirsel sapmaların toplamı sıfıra eşittir " şeklinde de ifade edebiliriz.
∑( logxi – logG) = 0

3. Özellik : Seri terimlerin (k)’ninci kuvvetlerinin geometrik ortalamasının (k)’ninci kuvvetine eşittir.

[(x1)k . (x2)k ... (xn)k]1/n = [(x1 . x2 ... xn)k]1/n
= [(x1 . x2 ... xn)1/n]k = G k


[(x1)k . (x2)k ... (xn)k]1/n = G k

4. Özellik : Geometrik ortalama terimlerdeki anlık ve anormal artışlara karşı aritmetik ortalama kadar duyarlı olmayıp, ona oranla daha istikrarlı ve gerçeği daha iyi yansıtan bir ortalama niteliğindedir.
5. Özellik : Serideki terimler arasında sıfır veya negatif işarete sahip bir değer varsa, geometrik ortalamaya başvurulmaz. Çünkü ilk durumda kök içindeki çarpım sıfıra eşit, ikinci durumda ise negatif işaretli sonuç verir.

Bütün bu özellikleri aşağıdaki örnekle açıklayalım.


Örnek :
xi log xi
2 0,301030
3 0,477121
4 0,602060
6 0,778151
2,158362

logG = 2,158362 = 0,5395905 → G = 3,46
4

Geometrik ortalamanın 4.kuvvetini hesaplarsak, bunun terimler çarpımına eşit olduğunu görürüz : 3,464 = 2.3.4.6

Terimlerin logaritmaları ile geometrik ortalamanın logaritması arasındaki cebirsel sapmaların toplamının sıfıra eşit olduğu aşağıda görülmektedir.

log xi - logG
0,3010300 – 0,5395905 = - 0,2385605
0,4771210 – 0,5395905 = - 0,0624695
0,6020600 – 0,5395905 = +0,0624695
0,7781510 – 0,5395905 = +0,2385605
0
Serinin bütün terimlerinin 2.kuvvetlerinin (karelerinin) geometrik ortalamasını hesaplayalım.

xi log (xi2) = 2log xi
2 2 (0,301030)
3 2 (0,477121)
4 2 (0,602060)
6 2 (0,778151)
4,316724

logG = 4,316724 = 1,079181 → G = 12 = 3,462
4
Görüldüğü gibi, seri terimlerinin 2.kuvvetlerinin geometrik ortalaması geometrik ortalamanın 2.kuvvetine eşit çıkmaktadır.
Serinin son terimini 106 olarak değiştirelim.


xi log xi
2 0,301030
3 0,477121
4 0,602060
106 2,025306
115 3,405517

x = 115 = 28,75
4

logG = 3,405517 = 0,851379 → G = 7,10
4
Son terim olarak 6 yerine 106 konulduğunda aritmetik ortalama 3,75’den 28,75’e fırladığı halde, geometrik ortalama bundan çok az etkilenmiş ve 3,46’dan 7,10 düzeyine yükselmiştir. Anlaşılıyor ki, geometrik ortalama aritmetik ortalamadan daha az duyarlı ve daha istikrarlıdır.
Geometrik ortalama özellikle aynı oranda artma veya azalma eğilimi gösteren olaylara ilişkin serilere uygulanır. Bu olaylar arasında öncelikle nüfus belirtilebilir. Öte yandan, aslında simetrik olmadığı halde logaritmaları alındığında simetrik hale dönüşen serilere de geometrik ortalamayı uygulamak gerekir.

2.3. Tartılı Geometrik Ortalama

Terim sayısı n olan bir dizideki tartılar ti simgesiyle gösterildiğinde tartılı geometrik ortalama aşağıdaki gibi hesaplanır:

Gt = ∑ti√∏xiti

Hesaplamayı kolaylaştırmak amacıyla logaritmadan faydalanabilir. Bu durumda ilgili formül aşağıdaki gibi olacaktır:

logGi = ∑tilogxi
∑ti
Sıklık dağılımı için tartılı geometrik ortalama formülüne aşağıda yer verilmiştir:

Gt = ∑tini√∏xitini

Logaritma yardımıyla çözüm yapıldığında yukarıdaki formül değişime uğrayacaktır:

logGt = ∑tinilogxi
∑tini
Bölümlendirilmiş dağılım için geometrik ortalama hangi tekniğe göre hesaplanmak istenirse istensin yapılacak ilk işlem sıklık dağılımı oluşturmaktır. Anlaşılacağı gibi hem sıklık dağılımları, hem bölümlendirilmiş dağılımlar için ortak formüller geçerlidir.
Tartılı geometrik ortalama özellikle kısmi dağılımlardan meydana gelmiş bileşik dağılımın geometrik ortalamasının hesaplanılmasında kullanılmaktadır; kısmi dağılımlardan meydana gelen dağılımın geometrik ortalaması, kısmi dağılımlar geometrik ortalamalarının tartılı geometrik ortalamasına eşittir.


2.4. Geometrik Ortalamanın Uygulama Alanı

Geometrik ortalama, terimleri yaklaşık olarak aynı oranda değişen dağılımlar için kullanılır; nüfus, milli gelir, bileşik faize yatırılmış sermaye gibi oldukça değişmez bir oranda artış gösteren dağılımların çeşitli tarihlerdeki değerlerinin ortalaması geometrik usulle belirlenir.
Geometrik ortalama dağılımdaki aşırı büyük değerlere karşı aritmetik ortalama kadar duyarlı değildir; böyle değerler içeren dağılımlar için bütün terimleri hesaba katan bir ortalama olan geometrik ortalama benimsenir.
Diğer taraftan dağılım terimlerinden biri sıfır veya sıfırdan küçük ise geometrik ortalama hesaplanmaz; birinci durumda terimlerin birbirleriyle çarpımı sıfırdır, ikinci durumda ise terimler çarpımının ya kökü yoktur ya da bulunsa bile anlamsızdır.


3. Mod

3.1. Tanım

Bir dağılımda en büyük sıklığa sahip olan terime mod (doruk değer) denir. Dizilerde ve sıklık dağılımlarında bu ortalama kolayca belirlendiği için bölümlendirilmiş dağılımlarda doruk değerin hesaplanılmasıyla ilgili açıklamalara yer verilecektir.

3.2. Eşit Aralıklı Bölümlendirilmiş Dağılımda M**** Hesabı

Doruk değer hesaplanacağı zaman bölümlendirilmiş dağılımda şekil değişikliği yapılmaz; bu durumda en büyük sıklık bir bölüme düşecektir. Sıklığı en büyük olan bu bölüme doruk değer bölümü denir ve doruk değerin (m****), sıklığı fazla olan komşu bölüme doğru kayacağı varsayımı benimsenir.

3.3. M**** Formül Yardımıyla Belirlenmesi

Bölümlendirilmiş dağılımda bölüm aralıklarının eşit olması durumunda en büyük
sıklığa sahip olan bölüm “doruk değer bölümü” olarak tanımlandıktan sonra kesin doruk değeri aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

mod = ℓa + ∆1 . cdd
∆1 + ∆2
veya

mod = ℓü - ∆1 . cdd
∆1 + ∆2

ℓa : doruk değer bölümünün alt sınırı,
ℓü : doruk değer bölümünün üst sınırı,
∆1 : doruk değer bölümünün sıklığı ile bir önceki bölümün sıklığı arasındaki fark,
∆2 : doruk değer bölümünün sıklığı ile bir sonraki bölümün sıklığı arasındaki fark,
cdd : doruk değer bölümünün aralığı.


Örnek :

Aşağıdaki gruplanmış serinin m****u hesaplayalım.

Sınıflar ni
0-2 den az 3
2-4 den az 2
M0 → 4-6 dan az 4
6-8 den az 1

Serideki en yüksek frekans 4 olduğu için, mod sınıfı 4-6 dan az sınıfı olacaktır. Bu sınıfın alt sınırı 4, üst sınırı 6 ve genişliği 2’dir. ∆1= 4-2 =2 ve ∆2= 4-1=3 olduğu ise, mod sınıfı ile ondan bir önceki ve bir sonraki sınıfların frekansları yardımıyla bulunabilir. Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım.

M0 = 4 + 2 . = 4,8
2+3
Bazen bir seride birden fazla maksimum frekans bulunabilir. Dolayısıyla, mod hesabında bu frekanslardan hangisinin dikkate alınacağı konusunda tereddüte düşülebilir. Bilindiği gibi, en yüksek frekanslar iki tane olduğunda seri “çift tepeli seri”, üç tane olduğunda “üç tepeli seri” vb. Şeklinde adlandırılır. Bu gibi durumlarda sınıflanmış seriler gruplanmış seri haline dönştürülür, gruplanmış serilerin ise sınıfları birleştirilir. Bu şekilde sınıflanmış seri yerine bir gruplanmış seri veya daha geniş aralıklı fakat daha az sayıda sınıftan oluşan yeni bir gruplanmış seri elde edilir. Sınıflar birleştirilirken frekanslar da toplanacağı için, en yüksek frekansa sahip sınıf sayısı bu işlem sonunda bire iner.


3.4. Birkaç Tepe Noktalı Dağılımlarda M**** Belirlenmesi

Bazı dağılımlarda terimler birden fazla değer etrafında veya birden fazla bölümde
toplanmağa eğilimlidirler. Böyle durumlarda kesin bir mod (doruk değeri) hesaplanamaz. Terimlerin etrafında toplanma eğilimi gösterdikleri çeşitli değerlerin sıklıkları eşit olmasa bile doruk değerin belirlenmesinde bir kararsızlık belirebilir.
Dağılımlarda birden fazla tepe noktasının ortaya çıkmasının nedenleri çeşitlidir; gözlem sayısının yetersiz kalması, incelenen birimlerin homojen olmaması, bölümlendirilmiş dağılımlarda bölüm sayısının gereğinden fazla tutulması, bazen de incelenen olayın niteliği tek bir doruk değerin hesabını olanaksız yapar. Eğer gözlem sayısının yetersizliği doruk değerin hesaplanılmasına olanak vermiyorsa, çare gözlem sayısını artırmak ve böylece terimlerin bir kıymet etrafında toplanmasını sağlamaktır. Gözlem sayısı artırılamıyor ve incelenen sıklık dağılımı ise, dağılımın bölümlendirilmesine, eldeki dağılım bölümlendirilmiş ise, bölümlerin genişletilmesi yoluna gidilir.
İncelenen yığın homojen birimlerden meydana gelmediği için birden fazla tepe nokta ortaya çıkıyorsa, yığın homojen gruplara ayrılarak her grup için ayrı doruk değer hesaplanır. Yığının homojen olmadığı durumda terimlerin bölümlerde toplanılması veya var olan bölümlerin genişletilmesi doğru olmaz.
Eğer olayın niteliği sebebiyle terimler sadece bir değer etrafında toplanma eğilimi göstermiyorsa doruk değer hesaplanamaz.

3.3. M**** Özellikleri

M**** matematiksel olmayan bazı özellikleri vardır. Bunlara kısaca değinelim.

1. Özellik : Ortalamalar arasında mod en temsili olanıdır. Çünkü kütledeki birimlerin önemli bir kısmına değerce uyar. Oysa daha önce incelediğimiz ortalamaların hiç birinde bu özellik yoktur.
2. Özellik : Sınıflanmış serilerde m**** tam sayı karakterinde olması gerçeğin daha iyi yansıtılmasını sağlar. Örneğin, bir bölgede yaşanan ailelerin ortalama çocuk sayısı duyarlı ortalamalardan herhangi biriyle hesaplanıldığında 3,16 çocuk gibi garip bir rakamla karşılaşılabilir. Buna karşılık, mod hesaplanmış olsa mutlaka 3, 4 vb. gibi bir tam sayı elde edilecektir. Bölgedeki ailelerin ortalama çocuk sayısının 3 olduğunu söylemenin 3,16 olduğunu söylemekten daha anlamlı olacağı açıktır.
3. Özellik : Mod anormal terimlerin etkisi altında kalmaz. Çok zengin bir kişinin köye taşındığını varsayalım. Köyün ortalama gelir düzeyi mod belirlendiğinde, bu kişinin geliri (anormal terim) serinin ucunda yer alacağı için, hesaplama dışı kalır ve modu etkilemez.
4. Özellik : Mod uygulamada farkına varılmadan en çok başvurulan ortalamalardan biridir. Örneğin, kundura ve hazır giyim eşyası üretiminde en çok satılan numaralar ve bedenler dikkate alınır ki, bu, mod hesabı anlamını taşır.

3.4. Modla İlgili Tamamlayıcı Bilgiler

Doruk değer şimdiye kadar incelenen tüm ortalamalar içinde en az duyarlı
olanıdır; dağılımdaki çok büyük ve çok küçük değerlerden etkilenmez, bu bakımdan sözü edilen dağılımlarda aritmetik ortalamanın yerine kullanılabilen bir ortalamadır. Doruk değer ekonomik olaylarda en çok uygulanan ortalamadır. Buna




4. Medyan

4.1. Tanım

Bir serideki bütün değerleri küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralayarak
bir dizi teşkil edersek, tam ortadaki yani seriyi iki eşit frekansa sahip kısma ayıran değer, medyan (ortanca) olarak tanımlanmaktadır. Özellikle çok büyük ve çok küçük değerlerin de bulunduğu serilerde medyan aritmetik ortalamaya kıyasla seriyi daha iyi temsil edebilmektedir. Medyanı bir frekans eğrisinin alanını iki eşit parçaya bölen çizgiye tekabül eden X değeri olarak da tarif etmek mümkündür. Şayet seride çift sayıda değer varsa tam ortadaki iki değerin ortalaması medyan olarak kabul edilir. Çok sayıda değerden meydana gelen süreksiz serilerde

N + 1
2
formülü yardımıyla medyanın kaçıncı sırada olduğu tespit edilir. Bu formülde N serideki gözlem sayısını (toplam frekans) ifade etmektedir. Tek veya çift sayıda değere sahip süreksiz seriler için aynı formül kullanılır.
Örneğin 8 değere sahip bir seride,

8 +1 = 4.5’inci sıradaki değer medyan olacaktır.
2
Sürekli serilerde ise N/2 formülü ile medyan değerinin kaçıncı sırada bulunduğu tespit edilmektedir. Gruplanmış serilerde bir sınıfın bittiği yerden diğeri başladığından seri sürekli olarak kabul edilir ve aynı formül tatbik edilir. Önce tasnif edilmiş daha sonra gruplanmış serilerde medyanın nasıl hesaplandığını görelim:

Tasnif edilmiş serilerde N + 1 formülüne dayanarak medyanın kaçıncı birim olduğunu
2
hesapladıktan sonra frekanslar sütunu yukarıdan aşağıya doğru kümüle edilerek medyanın hangi X değerine tekabül ettiği kolayca anlaşılabilir.

Örnek : Aşağıdaki tabloda tasnif edilmiş bir serinin meydanının hesaplanması görülmektedir:

Tablo 4.1

X Değerleri Frekanslar n Kümülatif frekans
5 2 2
6 4 6
7 6 12

8 3 15
9 1 16
16

N + 1 = 16 + 1 = 8.5
2 2
Medyan 8.5’uncu sırada olacağından değeri 7’dir.

Guplanmış serilerde medyanın yerini kolayca tayin etmek mümkün ise de değerini
bulmak diğer serilere kıyasla daha güçtür. Gruplanmış serilerde de önce frekanslar kümüle edilerek medyanın hangi sınıf içinde bulunduğu tespit edilir. Bu sınıfa medyan sınıfı denir. Daha sonraki işlemleri bir örnekle açıklayalım:

Örnek : Bir işletmede çalışan işçilerin saat başına aldıkları ücretlerin bölünmesi aşağıdaki gibidir. Medyan işçinin ücreti nedir?

Tablo 4.2

Saat ücreti TL. İşçi sayısı n Kümülatif frekanslar

0 – 200’den az 8 8
200 – 400’den az 11 19

400 – 600’den az 7 26
600 – 800’den az 6 32
∑n = 32

Seri sürekli ve gruplanmış olduğundan medyan N / 2 = 32 / 2 = 16’ıncı sıradaki birimdir ve 200-400’den az sınıfının içinde bulunmaktadır.
Medyan sınıfı içindeki değerlerin sınıf içinde eşit aralıklarla dağılmış olduğu varsayımından hareket edersek bu sınıf içindeki değerler arasında 200 / 11 = 18 TL’lik aralıklar olacağını söyleyebiliriz. Bundan sonra toplam frekansı 2’ye ayıran 16’ncı birimin bu sınıf içinde kaçıncı olduğunu bulmak gerekir. Bu, 16 – 8 = 8’inci birimdir ve değeri şöyle hesaplanır:

Med = 200 + (16 – 8) x 200/11
= 1600/11 + 200
= 345.45
Diğer bir deyimle medyan (16’ıncı) işçinin saat ücreti 345 TL’dir. Buna dayanarak medyanın genel formülünü yazabiliriz:


m - 1
N - ∑ ni
Med = l1 + 21 . Sm
nm

Bu formülde:

l1 = medyan sınıfının alt hududu

N = frekanslar toplamının yarısı
2

m-1
∑ ni = medyan sınıfından önceki sınıfların frekanslarının toplamı
1

nm = medyan sınıfının frekansı

Sm = medyan sınıfının aralığı

olarak belirlenmiştir.

Görüldüğü gibi medyanın hesaplanmasında aritmetik ortalamada olduğu gibi sınıf aralıklarının eşit olması zorunluluğu yoktur. Medyanın diğer önemli bir özelliği serideki değerlerin medyandan sapmalarının mutlak toplamının minimum olmasıdır.

∑* *׀Xi – Med׀ = minimum

1.1. Medyanın Özellikleri

Medyan matematiksel olmayan bazı özelliklere sahiptir.

1. Özellik : Terimlerin medyandan mutlak sapmalarının toplamı minimumdur : ∑* *׀Xi – Med׀ = min . Medyanın tek matematiksel özelliği olan bu durumu ispata başvurmaksızın bir örnek yardımıyla gösterelim.

Örnek :
Xi
3
5
6
8
13



Yukarıdaki basit seriden X = 7 ve Me = 6 değerleri elde edilebilir. Bu değerlerden yararlanarak, aritmetik ortalamadan ve medyandan mutlak sapmaları hesaplayalım.


*׀Xi – X׀ *׀Xi – Me׀
4 3
2 1
1 0
1 2
6 7
14 13

Görüldüğü gibi, medyandan mutlak sapmaların toplamı, aritmetik ortalamadan mutlak sapmaların toplamından daha küçüktür. Diğer ortalamalar için de benzer kıyaslamalar yapılabilir ve aynı sonuca ulaşılabilirdi.

2. Özellik : Basit bir sıralama ile bulunması mümkün olduğundan medyan birçok durumda pratik bir ortalama oluşturur. Örneğin, bir grup öğrencinin ortalama boy uzunluğunu teker teker ölçmeye gerek yoktur. Öğrenciler küçükten büyüğe sıralandıktan sonra, tam ortaya düşen bir (veya iki) öğrencinin boy uzunluğu ölçülmekle sonuca ulaşılır.
3. Özellik : Seride açık (alt sınırı veya üst sınırı belli olmayan) sınıfların varlığı halinde medyan hesabı önem kazanır. Açık sınıflı seriler için duyarlı ortalama hesabında açık sınıfa tahminsel bir sınıf ortalaması verilmesi gerekir. Dolayısıyla gerçekten az veya çok uzaklaşılması tehlikesi ortaya çıkar. Oysa medyan hesabında açık sınıflar sadece frekansları ile hesaba girdiği için, açık sınıfların bu sakıncası ortadan kalkabilir. Ancak medyan sınıfı serinin ilk sınıfı olduğunda, sınıfın alt sınırını yine tahminsel olarak ele almak gerekir.
4. Özellik : Diğer ortalamaların aksine, gruplanmış serinin medyan hesabında sınıf genişliklerinin tamamının eşit olması gerekmez.
5. Özellik: Medyan serideki anormal terimlerden etkilenmez.

[pancu38]

buneya hayatimiz ortalama oldu sanmisdim bir an

[phobiA]

İstatistik iyi hoş ta hesap makinesi olmadan cevapları bulmak çok güç cevaplar hep ondalıklı ve kökten çıktığında devirli. Özellikle kareli ortalamada çok sorun yaratıyor

[R€D-D€V!L-1903]

tşkr paylaşım ve bilgiler için