Beşiktaş Forum  ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi


Geri git   Beşiktaş Forum ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi > Eğitim Öğretim > Dersler - Ödevler - Tezler - Konular > Matematik - Geometri

Cevapla
 
LinkBack Seçenekler Stil
Alt 03-11-2007, 03:12   #1
Yardımcı Admin
 
Meric - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 
Regresyon Analizi

REGRESYON ANALİZİ

Regresyon analizi birden fazla değişken ve bunlar arasındaki bağıntıların incelenmesinde kullanılan bir yöntemdir. Üzerinde durulan değişkenlerden bağımlı değişken y, bağımsız değişken x ise, y=f(x) şeklindeki fonksiyona regresyon denir. f(x) fonksiyonu farklı şekiller alabilir:

Doğrusal:
Parabolik:
Üstsel:
Geometrik:
Hiperbolik: y=(ax+b)-1


Doğrusal Regresyon Modeli:
b0: Doğrunun y-eksenini kestiği yer
b1: Doğrunun eğimi veya regresyon katsayısı
e: Şansa bağlı hata değeri

Burada b0 ve b1 değerleri tüm popülasyon verileri kullanılarak hesaplanan teorik değerlerdir. Ancak yine de dikkate alınmayan bağımsız değişkenler olabileceğinden, verilerin rassal (şansa bağlı) değişimlerini gösteren hata değeri e modele eklenmiştir.

Gerçek hayat uygulanamalarında b0 ve b1 değerleri bilinmiyorsa, popülasyondan örnekler alınarak bunların tahmini değerleri olan b0 ve b1 kullanılır.
: y’nin tahmini değeri.

Parametre Tahmini:

Parametre tahmini en küçük kareler metodu (Least Squares Method) kullanılarak yapılır. Burada esas, dağılım diagramında (scatter diagram) görülen tüm noktalar için doğruya uzaklıklarının bulunması ve bunların toplamının minimize edilmesidir. Ancak regresyon analizinde bu toplam fonksiyonu daima sıfır olacağından b0 ve b1 değerlerini bulmada kullanılamaz.
Bu durumda hataların (regresyon denkleminden sapmaların) karelerinin toplamı bulunarak yeni bir fonksiyon oluşturulur.
Bu yeni fonksiyonu minimize eden optimal b0 ve b1, b0 ve b1’ın tahmini değerleri olacaktır. Yukarıdaki fonksiyon içbükey (convex) olduğundan, fonksiyonu minimize eden optimal değerleri bulmak için fonsiyonun b0 ve b1’e göre kısmi türevlerini sıfır yapan değerleri almak yeterli olacaktır.

,
.

xi: bağımsız değişkenin i. gözlemi, i=1,2,...,n.
yi: bağımlı değişkenin i. gözlemi, i=1,2,...,n.
: bağımsız değişkenin örnek ortalaması
: bağımlı değişkenin örnek ortalaması
n: toplam gözlem sayısı.

ÖRNEK:

Aylık gelir ile aylık yiyecek harcamaları arasındaki ilişkiyi bulmak için popülasyondan yedi kişiye aylık gelir ve yiyecek harcamaları soruldu:
No:
Gelir ($100)
Yiyecek Harc.($100)
1
35
9
2
49
15
3
21
7
4
39
11
5
15
5
6
28
8
7
25
9


= 30.29
= 9.14

Yukarıdaki formüller kullanılarak b1=0.26, b0=1.14 ve doğrusal regresyon modeli
olarak bulunur.
b0 ve b1’in anlamı:
b0 , x=0 olduğu durumda bağımlı değişkenin tahmini değeridir. Yukarıdaki örnekte b0=1.14 olması şu anlama gelir: Bir insanın hiçbir geliri olmasa bile, aylık en az $114 tutarında bir yiyecek masrafı vardır.
b1 değeri regresyon katsayısıdır ve x’deki birim artışa karşılık y’deki değişim miktarını gösterir. b1’in pozitif olması, bağımsız değişken x’in arttığında y’nin artacağını gösterir (pozitif doğrusal ilişki). Aynı şekilde b1’in negatif olması, bağımsız değişken x’in arttığında y’nin azalacağını gösterir (negatif doğrusal ilişki). b1 değerinin sıfıra çok yakın olması, bağımlı değişken y’nin bağımsız değişken x’teki değişimlerden etkilenmediğini gösterir. Bu durumda regresyon denkleminin açıklayıcılığı tartışılmalıdır. Bunun için aşağıda anlatılan regresyon modelinin performansını gösteren istatistiklere bakılmalıdır.
Regresyon Modeli ile Tahmin Yapılması:
Regresyon denklemi kullanılarak, verilen bir x değeri için y’nin tahmini değeri bulunur; ancak x’in büyüklüğü örnek veri setindeki minimum ve maximum değerler arasında ise daha iyi tahminler yapılır. Aslında daha isabetli tahminlerde bulunmak için yapılması gereken, her yeni veri bulunduğunda regresyon modelinin (b1, b0) yeni baştan oluşturulmasıdır.
SORU: Gelir düzeyi $3500 olan bir kişinin tahmini aylık yiyecek masrafları ne kadardır?
= 1.14 + 0.26 (35) = 10.38 Þ tahmini aylık yiyecek masrafı=$1038.

Tahmin hataları:

SORU: Diyelim ki, gelir düzeyi $3500 olan bu kişinin aylık yiyecek masrafı $900 olarak gerçekleşti. Bu durumda tahmin hatası
($100) olarak bulunur.
Tahmin hatasının negatif değer alması gerçekleşen değerin üzerinde bir tahmin yapıldığını, pozitif değer alması da gerçekleşenin altında bir tahmin yapıldığını gösterir.
Hata Terimi e için Genel Varsayımlar:

· Regresyon modelinde hataların beklenen değeri sıfırdır. şeklinde belirtilen regresyon modelindeki hata terimi e, ortalaması sıfır olan bir rassal değişkendir (random variable), E(e)=0. Örnek üzerinde düşünülürse, yiyecek masraflarının regresyon doğrusunun üzerindeki toplam sapması, altındaki toplam sapmaya eşittir. Bu durumda hataların beklenen değeri sıfır olmalıdır.
Diğer taraftan bağımlı değişken y de, e’un bir fonksiyonu olduğu için bir rassal değişkendir. Bu durumda belirli bir x değeri için y’nin beklenen değeri (expected value) şöyledir:

E(y|x)= b0 +b1x.
b0 ve b1 sabit değerler (parametre) olduklarından E(b0 )= b0 ve E(b1)=b1.

· Verilen her x değeri için hataların standart sapmaları, s² eşittir. Bağımsız değişken y’lerin standart sapmaları s2 olarak gösterilir ve bu tüm x değerleri için aynıdır.

Var(y|x) = Var(b0 +b1x+e) = Var(e) = s2

b0 ve b1 sabit değerler (parametre) olduklarından Var(b0 )= Var(b1)=0.

· Hata değerleri birbirinden bağımsızdır. İki değişik kişinin gelirine göre yiyecek masraflarları tahmin edildiğinde, oluşan hata değerleri bağımsız olacaktır, yani kişiler yiyecek masraflarına kendileri karar verirler.

· Hata değerleri normal dağılım gösterirler. Buna göre, belirli bir x değeri için tahmini y değerleri de normal dağılım gösterir. Bunun nedeni, y’nin bağımsız hataların doğrusal bir fonksiyonu olmasıdır.
NOT : y dağılımlarının şekli her x noktasında aynıdır.



Popülasyon Varyansı, , aşağıdaki formülle tahmin edilir.

,
MSE : mean square error
SSE : sum of squares due to error
,

ÖRNEK:

Regresyon Modelinin Performansı , :

Bağımsız değişken x’in regresyon modeli ile bağımlı değişken y’i ne kadar açıklayabildiğini görmek için bir ölçüt olan karar katsayısı, (coefficient of determination) kullanılır. Buradaki yöntem şudur:

1) Eğer regresyon modeli olmasaydı, verilen her bağımsız x değeri için tahmini y değeri, olacaktı. Bu durumda hata karelerinin toplamı, SST (total sum of squares) aşağıdaki gibi tanımlanır
.
2) Regresyon modeli kullanıldığında ise hata kareleri toplamı, SSE (sum of squares due to error) olacaktır.

.2

3) Aradaki fark SSR = SST – SSE, hata kareleri toplamının regresyon modeli kullanılması sonucu açıklanabilen (böylelikle giderilen) miktarını gösterir. Yani SSR ne kadar büyükse regresyon modeli o kadar açıklayıcı ve anlamlıdır.


ÖRNEK:

Þ


Regresyon Modelinin performansı r2, karar katsayısı ile ölçülür,
.


r2 1’e ne kadar yakınsa, regresyon o kadar anlamlıdır, belirleyicidir! Bu konuda bilimsel bir karar verebilmek için hipotez testi yapılır.

Hipotez Testi:



Bir regresyonun anlamlı olması aslında doğrunun eğimi olan ’in sıfırdan farklı olması ile eşdeğerdir.

değerlerini tahmin etmek için kullanılan b1, aslında ortalaması ve varyansı olan normal dağılım gösterir, ~ N (). Burada,


şeklinde tahmin edilir.

0

Yukarıdaki hipotezi test etmek için t-testi kullanılır:


Test istatistiği =
Kritik değer :
Karar Verme:

Eğer veya reddedilir.
Ya da,
Eğer p – değeri reddedilir.

reddedilirse, a yanılma olasılığı ile ’dır, yani y değerleri x’e bağlı olarak değişim gösterirler ve bu durumda regresyon anlamlıdır.

ÖRNEK: a = 5%


Test istatistiği :
Kritik değer : (t-tablosundan bulunur)

a = 5% için reddedilir Regresyon modeli açıklayıcıdır.


Değeri İçin Güven Aralığı:

tanımına göre, kullanılarak için nokta tahmini (point estimation) yapılabilir.Aralık tahmini yapmak içinse şu formül kullanılır:

için %(1-a) 100 güven aralığı:


ÖRNEK:
Þiçin %95 güven aralığı : [0.17 , 0.35]

Yani 0.95 olasılıkla, bu doğrunun eğimi [0.17 , 0.35] arasındadır.

Korelasyon Katsayısı, r (Correlation Coefficient):

Bağımsız değişken x ile bağımlı değişken y arasındaki doğrusal ilişkinin ölçütü olarak korelasyon katsayısı, rxy kullanılır. Korelasyon katsayısı x ile y arasındaki kovaryans (covariance), sxy kullanılarak şöyle gösterilir:


,
Aslında karar katsayısı biliniyorsa, yukarıdaki formül kısaca

(’in işareti).











y

x

y

x

r = 1
Þ tam doğrusal korelasyon
r = -1

r = 0 Þ x ile y arasında doğrusal bağlantı yok



y

x





















ÖRNEK:
Þ gelir düzeyi ile yiyecek masrafı arasında güçlü pozitif korelasyon (doğrusal ilişki) var.






ÇOKLU REGRESYON (Multiple Linear Regression)

Bağımsız değişken sayısının birden fazla olduğu regresyon modellerine çoklu regresyon modelleri denir.

, k=1,2,....

Basit regresyon modellerinde geçerli olan tüm kavramlar ,çoklu regresyon modellerinde de geçerlidir.Yalnız, çoklu regresyon modelinin belirleyiciliğini test etmek için t-test yerine F-test kullanılır.



değerlerinden en az biri 0 değil.

Test istatistiği :

Þ hipotezi reddedilir.
F değerine karşılık gelen p–değeri Þ hipotezi reddedilir.

Unutulmamalıdır ki, sadece bir bağımsız değişken olduğunda, F-testi ve t – testi kullanılarak yapılan hipotez testleri aynı p – değerini vereceklerdir. p-değeri ise hipotezi reddedilir. Bu da, bağımsız değişkenlerle bağımlı değişken y arasında belirgin nitelikte bir ilişki olduğunu gösterir.Yani bağımsız değişkenler, bağımlı değişkeni etkileyen faktörlerdir. Testin reddedilmemesi (’ın kabul edilmesi) durumunda, bağımsız değişkenlerin bağımlı değişkeni açıklayamadığı sonucu doğar. Bu durumda ya örnek sayısı arttırılabilir veya bağımlı değişkeni etkileyebilecek yeni faktörler (bağımsız değişkenler aranır.)

SPSS kullanılarak Varyans Analizi Yapılması:
SPSS kullanıldığında Varyans analizinin tüm bulguları bir ANOVA tablosunda özetlenir. Bu tabloda F-değerine karşılık gelen p-değeri de belirtilir ve bu değer µ ile karşılaştırılarak karar verilir.


ANOVA

Source

Sum of quares
Degrees of freedom
Mean squares
F

P - Value

Regression
SSR
k
Error(Residual)
SSE
n-k-1
MSE
Total
SST
n-1


k: Regresyonda kullanılan bağımsız değişken sayısı.



REGRESON MODELİ


Simple Linear Regression Model



Estimated Simple Linear Regression Equation

Least Squares Criterion

Slope and y-Intercept for the Estimated Regression Equation

Sum of Squares Due to Error
Total Sum of Squares

Sum of Squares Due to Regression

veya SSR=SST-SSE

Coefficient of Determination



Sample Correlation Coefficient




Mean Square Error (’nin tahmini değeri)


Standard Error of the Estimate


Estimated Standard Deviation of


t Test Statistic


Mean Square Regression

k: bağımsız değişken sayısı

F-Test Statistic
__________________


http://img81.imageshack.us/img81/9771/topmain8dd3mg5.jpg
Meric Ofline   Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Bu konuyu arkadaşlarınızla paylaşın


Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)
 
Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Açık
Smileler Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-KodlarıKapalı
Trackbacks are Açık
Pingbacks are Açık
Refbacks are Açık




Türkiye`de Saat: 02:27 .

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2008, Jelsoft Enterprises Ltd.
SEO by vBSEO 3.3.2

Sitemiz CSS Standartlarına uygundur. Sitemiz XHTML Standartlarına uygundur

Oracle DBA | Kadife | Oracle Danışmanlık



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580