Beşiktaş Forum  ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi


Geri git   Beşiktaş Forum ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi > Eğitim Öğretim > Dersler - Ödevler - Tezler - Konular > Matematik - Geometri

Cevapla
 
LinkBack Seçenekler Stil
Alt 03-11-2007, 03:23   #1
Yardımcı Admin
 
Meric - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 
Ikinci Derece Bir Bilinmeyenli Denklemler ( Quadratik Denklemler)

İKİNCİ DERECE BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER ( QUADRATİK DENKLEMLER)

DERECE NEDİR?
Bir harfli ifadede en büyük kuvvet bu ifadenin derecesini verir.
X2Y3 3. derece
-7X5 + 6Y4 5. derece
2X4Y2 + 3z 3 bilinmeyenli ve 4. derece
-X Y3 - 6x5 2 bilinmeyenli ve 5. derece

2.DERECE denklem NEDİR?

İkinci derece bir bilinmeyenli denklemler ax2 + bx + c = 0 şeklindedir.
Burada a , b ve c sayıları reel sayıdır. a sayısı sıfırdan farklı olmalıdır.
Çünkü a = 0 olursa denklem bx + c = 0 şekline dönüşür ve birinci derece denklem olur.

KÖK NEDİR?
Denklemin gösterdiği eşitliği sağlayan sayılara denklemin çözümü ( kök )denir.
Örneğin 1 ve 2 sayıları x2 - 3x + 2 = 0 denkleminin kökleridir.
Çünkü denklemde x yerine bu sayıları koyarsak :
x = 1 için 12 - 3.1 + 2 = 0
x = 2 için 22 - 3.2 + 2 = 0 denklemin gösterdiği eşitlik gerçeklenir.
Fakat x = 3 sayısı bu denklemin bir kökü değildir.
x = 3 için 32 - 3.3 + 2 = 0
2 ≠ 0
Denklemin gösterdiği eşitlik x = 3 için doğru değildir.
Bir denklemin en fazla derecesi kadar reel kökü olabilir. Bunun sonucu olarak ikinci derece denklemin en fazla 2 tane reel kökü vardır.

KÖKLERİ NASIL BULURUZ?
1.Denklem çarpanlarına ayrılabiliyorsa her bir çarpanın kökünü buluruz.
x - 3 = 0



x - 1 = 0



x = 3



x = 1



x2 - 4x + 3 = 0
x 1 = x
x + 3 =3x
4x


Örneğin x2 - 4x + 3 = 0 denkleminin köklerini bulalım.
(x - 1 )(x - 3) = 0



Denklemin kökleri x = 1 ve x = 3 dür. Çözüm kümesini
Ç = { 1 , 3 } şeklinde yazarız.
2x2 + 5x - 3 = (2x -1)(x + 3)

2x -1 = -x
x 3 = 6x
+
5x

Çapraz çarpımların toplamı orta terimi vermelidir.


2x - 1 = 0



x = 1/2



x = -3



(2x - 1 )(x + 3) = 0



Örnek : 2x2 + 5x - 3 = 0 denkleminin köklerini bulalım.

x + 3 = 0












Denklemin kökleri x = 1/2 ve x = - 3 dür. Çözüm kümesini Ç = { 1/2 , -3 } şeklinde yazarız.
y4 - y2 + 1 = ( y2 - 1) ( y2 - 1) = ( y2 - 1)2
y2 -1 = -y2
y2 -1 = -y2
+
-2y2

Çapraz çarpımların toplamı orta terimi vermelidir.


( y2 – 1 )2






Örnek : y4 - y2 + 1 = 0 denkleminin köklerini bulalım.
y2 - 1= 0



y2 = 1






y2 = 1 için y = ± 1 olur.

Denklemin kökleri y = 1 ve y = -1 dir. Çözüm kümesini Ç = { -1 , 1 } şeklinde yazarız.

ÖDEVLER : Aşağıdaki denklemlerin köklerini çarpanlara ayırarak bulunuz.
1. x2 - 5x + 6 = 0 2. - x4 + 4x - 4 = 0
x2 - 5x + 4 = 0 x6 - 2x3 + 1 = 0
x2 + x - 6 = 0 y2 - 2yx + x2 = 0
2x2 - 6x - 20 = 0 2y2 + y - 15 = 0
x2 - 9 = 0 6x2 - 7x + 2 = 0

AyrıCa denklemi Tam KAREYE tamamlayarak kökleri bulmak da MÜMKÜNDÜR.
Quadratik Denklemler : Tam kare metodu

Tam kare Nedir?
· ·········1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , ... şeklindeki sayılar tam kare sayılardır.
· ·········( x - 3 )2 , x2 , ( x + y )2 ve 4x2 şeklindeki ifadeler tam kare ifadelerdir.
Tam kare ifadelerin köklerini bulmak oldukça kolaydır.
Örneğin ( 3x – 1 )2 = 9 denklemini çözelim.
Her iki tarafın karekökünü alırsak
( 3x – 1 ) = ± 3 olur.
i. 3x – 1 = 3 yazarsak
3x = 4
x = 4/3 birinci köktür.
ii. 3x – 1 = - 3 yazarsak
3x = - 3 + 1 = -2
x = -2 / 3 ikinci köktür.
Verilen bir ifadeyi tam kareye tamamlamak için bazı cebirsel işlemler yaparız.
Örnek x2 – 8x + 7 = 0 denklemini çözelim.
x2 – 8x + 7 = 0 denkleminin sabit sayısı 16 olsaydı denklem x2 – 8x + 16 = ( x – 4 )2 = 0 şeklinde tam kare olurdu.
Bu nedenle denklemi tam kareye tamamlamak için sabit sayısına 9 ekleyip çıkarırız.
x2 - 8x + 7 + 9 – 9 = ( x2 – 8x + 7 + 9 ) - 9 = ( x – 4 )2 – 9 = 0
( x – 4 )2 = 9
x – 4 = ± 3
i. x – 4 = 3 yazarsak
x = 7 birinci köktür.
ii. x – 4 = - 3 yazarsak
x = - 3 + 4 = 1
x = 1 ikinci köktür.
Bu işlemi kural haline getirelim :
KURAL : x2 + bx + c = 0 denklemine ( b/2 ) 2 SAYISINI EKLEYİP ÇIKARIRSAK DENKLEM TAM KARE OLUR.
ÖRNEK :
2x2 + 8x + 2 = 0 denklemini çözelim.
ÇÖZÜM :
Önce denklemi 2 ye bölelim. x2 + 4x + 1 = 0
b = 4 ve b/2 = 2 olur. ( b/2 ) 2 = 4 olur.
Denkleme 4 ekleyip 4 çıkaralım.
x2 + 4x + 1 + 4 - 4 = 0
Denklemi düzenlersek
( x2 + 4x + 4 ) - 3 = 0
( x + 2 )2 - 3 = 0 olur.
( x + 2 )2 = 3 yazıp karekök alırız.
x + 2 = ±Ö3 bulunur.
x = -2 ±Ö3 köklerdir.
ÖDEVSİZ OLURMU?
Aşağıdaki denklemleri tam kareye dönüştürüp çözünüz.
x2 + 4x + 2 = 0
4x2 + 4x + 4 = 0
x2 + x + 2 = 0
x2 - 4x + 2 = 0
2x2 + 2x - 4 = 0


☺☺Quadratic Denklemler : Diskriminant ile Çözüm




Formül nasıl çıkmış?

olduğundan denklemi önce a ile böleriz.



Sonra,


tam kareye tamamlamak için ekleyip çıkarırız.




Her iki yanın kare kökünü alırsak,

veya

Bu yazılışa quadratik çözüm denir.


Bu çözümleri ve şeklinde ayrı da yazılabilir.


ÖRNEK :

ÇÖZÜM : a = 2, b = -3 ve



☺☺Köklerin Analitik İncelemesi

Quadratik denklemlerin üç durumunu inceleyeceğiz.
1.yani iki eşit kök varsa denklem :

( x – A )2 = 0 şekline gireceği için
fonksiyonunun işaretini a nın işareti belirler.
a < 0
a > 0





2 .

Yani iki kök varsa bu durumda denklemin grafiği x eksenini iki noktada keser. Bu durumda fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekillerden

biri gibi olur. Kökler arası işareti a nın tersi olur.
a < 0
a > 0





3 .

Yani denklemin reel kökü yoksa fonksiyonunun işareti a nın işareti ile aynıdır.




a < 0
a > 0
__________________


http://img81.imageshack.us/img81/9771/topmain8dd3mg5.jpg
Meric Ofline   Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Bu konuyu arkadaşlarınızla paylaşın


Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)
 
Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Açık
Smileler Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-KodlarıKapalı
Trackbacks are Açık
Pingbacks are Açık
Refbacks are Açık




Türkiye`de Saat: 00:51 .

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2008, Jelsoft Enterprises Ltd.
SEO by vBSEO 3.3.2

Sitemiz CSS Standartlarına uygundur. Sitemiz XHTML Standartlarına uygundur

Oracle DBA | Kadife | Oracle Danışmanlık



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580