Beşiktaş Forum  ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi


Geri git   Beşiktaş Forum ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi > Eğitim Öğretim > Dersler - Ödevler - Tezler - Konular > Matematik - Geometri

Cevapla
 
LinkBack Seçenekler Stil
Alt 05-09-2008, 17:30   #1
ยŦยк
 
Constantin - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 
Fibonacci sayıları

Fibonacci sayıları ve Altın oran Fibonacci Sayıları Fibonacci Serisi

Adı orta çağın en büyük matematikçileri arasında geçen Fibonacci’nin hayatı ile ilgili pek fazla bilgi bulunmamaktadır. İtalya’nın Pisa şehrinde 1170’li yıllarda doğduğu sanılmakta, babasının işi nedeniyle Kuzey Afrika’ya ve Cezayir’e gitttiği ve burada Arap hocalardan matematik dersleri aldığı bilinmektedir. Hint-Arap sayılarını (1, 2, 3...) öğrenerek, bunları Avrupa’ya tanıtmıştır. Bu bakımdan Fibonacci, matematiği Araplardan alıp Avrupa’ya tanıtan kişi olarak anılır. (3)
“Fibonacci sayıları” ve özellikle “Altın Oran”, matematikçilerin oldukça ilgisini çekmiş ve birçok araştırmaya konu olmuş bulgulardır. Bunun sebepleri; Fibonacci dizisindeki sayıların oranı olan 1,61803... sayısının -ki buna “Altın Oran” denilmektedir- tarihte oyun kartlarından piramitlerin yapımına kadar birçok alanda kullanılmış olması, sayı teorilerinde ortaya çıkması ve doğada birçok varlıkta gözlemlenmesidir. (2)
İlk olarak 1202’de yazdığı Liber Abaci “The Book of Calculation” kitabının yeni versiyonunu 1228’de tamamlayan Fibonacci’nin, Practica Geometria “The Practice of Geometry” (1220) , Flos “The flower” (1225) ve Liber Quadratorum “The Book of Square Numbers” (1225) kitapları ise matematik alanında ele almış olduğu diğer eserlerdir. Bu kitapların içinde en ünlü olanı, Fibonacci sayılarıyla Altın Oran’ın anlatıldığı “Liber Abaci”dir. Kitapta karşılaşılan bir problemin çözümünde Fibonacci dizisi anlatılmaktadır. Bu problem aşağıdaki gibidir: (4), (5)
Tavşan Problemi
“Dört yanı duvarlarla çevrili bir yere bir çift tavşan konmuştur. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan yavruladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği varsayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?” Bu şekilde düşünüldüğü takdirde tavşan çiftleri aylara göre şu sıralamayı ortaya koymaktadır: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Görüldüğü gibi ilk iki sayı hariç, her sayı kendisinden önce gelen iki sayının toplamına eşittir. Tavşanlar, görülen grafik (bkz, resim 1) doğrultusunda artış göstermektedir. Bu sayıların arasındaki oran ise bize altın oranı vermektedir.
Fibonacci Dizisinin Görüldüğü ve Kullanıldığı Yerler
Fibonacci sayılarına özellikle doğada çok sık rastlamaktayız. Bu sayılar bitki yaprakları, bitki tohumları, çiçek yaprakları ve kozalaklarda sıkça karşımıza çıkmaktadır. Daha da ilginci bu sayılara Pascal veya Binom üçgeninde, Mimar Sinan’ın eserlerinde, Da Vinci’nin resimlerinde de rastlanmaktadır.
Da Vinci’nin yandaki (bkz: resim 2) yapıtında, Mona Lisa’nın başı etrafına bir dörtgen çizildiğinde, sağlanan dörtgen altın orana uymakta olup resmin boyutları da altın oranı vermektedir. (1) Fibonacci dizisindeki bir terim, ondan önce gelen bir terime bölündüğünde, bölümün sonsuza eşit olması için irrasyonal bir sayı olan altın oran sayısına yaklaştığı görülmektedir. (2)
Bitkiler alemine genel bir bakışla yaklaşıldığında ise, bitki sapları üzerindeki yaprakların dizilişinin Fibonacci dizisine uygun olduğu görülür. Bu yargı; kavak, elma, muz, armut, karaağaç gibi birçok bitki için geçerlidir.
Şekilde görüldüğü gibi (bkz: resim 3) sap üzerindeki yapraklar Fibonacci sayılarına uygun olarak, birbirlerini kapatmayacak şekilde sıralanır. Sap üzerindeki ilk yaprağı “1” numara olarak alırsak; “1” numara ile aynı yönde olan bir sonraki yaprağa ulaşmak için saat yönünde 3 defa dönmemiz gerekir. Bunun sonuncunda toplam 5 yaprak sayarız. Bu dönüşü saat yönünün tersinde yaparsak, 2 tur atmamız gerekecek ve bu da bize “2, 3, 5” ardışık Fibonacci dizisini verecektir.
Tütün bitkisi yapraklarının dizilişindeki Fibonacci dizisi ise, bitkinin güneşten ve havadaki karbondioksitten optimum düzeyde faydalanmasını sağlayarak, yüksek düzeyde fotosentez yapmasına olanak verir. Bu özellik eğrelti otunda da gözlemlenmektedir. Ayçiçeğinin üstündeki spiral şeklinde dizilmiş tohumları saat yönünde ve tersi yönde saydığımızda ardışık iki Fibonacci sayısına ulaşırız. Papatya çiçeğinde de aynı Fibonacci dizisi gözlenmektedir. Benzer bir durum çam kozalağı üzerindeki tanelerde de mevcuttur. Bu taneler kozalağın alt kısmındaki sabit bir noktadan başlayarak, tepe noktasındaki başka bir sabit noktaya doğru eğriler çizerek gelişirler ve bu gelişim sonunda taneleri soldan sağa ve sağdan sola doğru sayarsak başka bir Fibonacci dizisi elde ederiz. (6)
İnsan vücudunda da fibonacci dizisinin işaretlerini görebiliriz. Baştan göbek deliğine kadar olan uzunluğun boyumuza oranı, parmak uçlarından parmakların boğumuna kadar olan uzunluğun bütün parmak boyuna oranı bize fi sayısını verir
Fibonacci dizisinin görüldüğü objeler yalnızca doğanın döngüsü içinde değil, insan yapılarında da mevcuttur. Kubbe ve kule tasarımları içeren ve genellikle eski çağlara ait mimari eserlerde de Fibonacci dizisi gözlemlenir. Mimar Sinan’ın yapmış olduğu Selimiye ve Süleymaniye camilerinin, kubbe ve minarelerinde altın oran gözlenmektedir. Matematikte ise başta geometri alanında kullanılan Pascal üçgenini göz önünde bulundurursak, üçgeni oluşturduktan sonra, katsayıların sıralı çapraz toplamları Fibonacci dizisini vermektedir. (1)
matematiğin en ilgi çekici konuları arasındadır.
Bir yarışmada aşağıdaki problem ortaya çıktı :
Her ay bir çift tavşan üreten tek bir tavşan çifti ile başlanırsa, üretilen her tavşan çifti de bir ay sonra aynı şekilde
http://img119.imageshack.us/img119/7...iblocks0bg.png (ImageShack® - Image Hosting)
üretkenleşirse ve tavşanlar hiç ölmezse, n ay sonra toplam kaç tavşan çifti olur ? Fibonacci sayıların yardımıyla yapılmış fayanslar

İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun, tabi matematik bu yavruların anasız, babasız nasıl büyütülecekleri veya bu iki tavşanın da aynı cinsten olup olmaması konusuna pek girmez. İkinci ayda, bu tavşanlar daha yavrulamadıklarından, hala bir çift tavşanımız olacak. Üçüncü ayda bu tavşanlarımız yavrulayacağından iki çift tavşanımız olacak. Bu yeni doğmuş olan çift dördüncü ay doğurmayacak , oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu mantıkla düşünmeye devam edersek aşağıdaki sayı dizisini elde ederiz. Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin ortaya çıktığı ay) ile Aralık arasındaki takvim aylarının her birinde bizim kahraman tavşan çiftlerimizin sayısını vermektedir:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ... Ardından şu basit kural uygulanır: bir sonraki sayıyı bulmak için son iki sayıyı topla, yani:

http://img209.imageshack.us/img209/3486/122jd.png
Constantin Ofline   Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Bu konuyu arkadaşlarınızla paylaşın


Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)
 
Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Açık
Smileler Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-KodlarıKapalı
Trackbacks are Açık
Pingbacks are Açık
Refbacks are Açık




Türkiye`de Saat: 01:11 .

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2008, Jelsoft Enterprises Ltd.
SEO by vBSEO 3.3.2

Sitemiz CSS Standartlarına uygundur. Sitemiz XHTML Standartlarına uygundur

Oracle DBA | Kadife | Oracle Danışmanlık



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580