Beşiktaş Forum  ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi


Geri git   Beşiktaş Forum ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi > Eğitim Öğretim > Dersler - Ödevler - Tezler - Konular > Matematik - Geometri

Cevapla
 
LinkBack Seçenekler Stil
Alt 05-09-2008, 17:52   #1
ยŦยк
 
Constantin - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 
Karmaşık Sayılar

A)Sanal Sayı Kavramı
Sıfırdan farklı her reel sayının karesi pozitiftir, negatif olamaz.Sıfırın karesi sıfırdır.

Biz sanal olarak karesi negatif olan bir sayı düşünelim.Örneğin karesi -1 olan bir sayı alırsak bu sayı bir sanal sayıdır.bu sayıyı 'i' harfi ile gösterirler.
O halde dir.
Buna göre i sanal sayısı karesi -1 olan bir sayıdı.( )
Bu gösterimde , , , ,
Dikkat edilirse i'nin kuvvetleri daima {i,-1,-i,1}dir.

değerinin hangi eleman olduğunu şöyle buluruz: i nin üssü olan n sayısını 4'e böleriz.
Eğer:
kalan 0 ise sonuç 1
kalan 1 ise sonuç i
kalan 2 ise sonuç -1
kalan 3 ise sonuç -i dir.

Sanal Sayılarla İşlemler
Toplama,çıkarma ve çarpmada (i)'yi bir harf gibi alır, sonuçta (i)'nin bir kuvveti varsa değerini yazarak işlemi yaparız.
Örneğin:
a)2i+3i-5i+6i=6i
b)3i-5i+i=-i
c)

örnek\ olduğuna göre


cevap\ 127 yi 4 e bölersek 3, 445 i bölersek 1, 1997 yi bölersek 1 kalır yani:

bulunur.


B)Karmaşık Sayılar
ve olmak üzere a+bi=z sayısına karmaşık sayı denir.
ifadesinde katsayılar reel sayı, üsler doğal sayı olduğu zaman P(x) bir polinom olur.
Her P(x) polinomu için alındığında P(i) nin daima a+bi olacağını görürüz.
Örneğin; polinomunda
= bulunur.

Karmaşık sayılar kümesi C harfi ile gösterilir.
z=3+2i ; dir.
Bir karmaşık sayı iki kısımdan oluşur.Bunlar reel kısım ve sanal kısımlardır.
z=a+bi karmaşık sayısında a reel kısım, b ise sanal kısımdır.
Reel kısım Re(z)=a, sanal kısım İm(z)=b biçiminde yazılarak gösterilir.

Karmaşık Sayıların Eşitliği

z=a+bi iken yani a+bi=x+yi ise a=x,b=y dir.
Eşit karmaşık sayılarda reel kısımlar bir birine,sanal kısımlar birbirine eşittir.

Karmaşık Sayının Eşleniği
Bir karmaşık sayının eşleniği,sanal kısmın işareti değiştirilerek elde edilen karmaşık sayıdır.Eşlenik sayı,esas karmaşık sayının üstüne bir çizgi çekilerek belirlenir.
z=a+bi ise eşleniği dir.
3+2i nin eşleniği 3-2i dir.

Karmaşık Sayılarda İşlemler
Karmaşık sayılarla, toplama çıkarma ve çarpma işlemleri polinomlarda olduğu gibi yapılır.

TOPLAMA İŞLEMİ
Toplamada, reel kısımlar toplanıp reel kısım; sanal kısımlar toplanıp sanal kısım bulunur.
Karmaşık sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı reel ve sanal kısımları 0(sıfır) olan karmaşık sayıdır.
Bir z karmaşık sayısının toplamaya göre tersi -z dir.

örnek/z'=3-2i , z^=5+7i , z^^=-6+3i olduğuna göre z'+z^+z^^ toplamı nedir?

cevap\(3-2i)+(5+7i)+(-6+3i)ise
3+5-6=2 ve -2i+7i+3i=8i dir.
=2+8i

ÇIKARMA İŞLEMİ
İki karmaşık sayının farkı, için çıkan sayının toplamaya göre tersi ile toplamı yapılır, yani çıkan sayının işaretleri değiştirilerek toplama yapılır.

örnek/z=5+2i ve z'=4-3i ise z-z'=?

cevap\z-z'=(5+2i)-(4-3i)
=5+2i-4+3i
=1+5i bulunur.

ÇARPMA İŞLEMİ
Polinomlarda olduğu gibi yapılır.i nin kuvvetleri i türünden hesaplanarak çarpma işlemi yapılır.

örnek/z=3+4i ve z'=2-3i ise
z.z'=(3+4i).(2-3i)
=6-9i+8i+12
=6-9i+8i+12
=18-i bulunur.

BÖLME İŞLEMİ
Pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılarak yapılır.
dir.

örnek/
olduğuna göre 3+2i işleminin sonucu nedir.? 5-3i

cevap\ 3+2i = (3+2i).(5+3i) = 15+9i+10i+6
5-3i (5-3i).(5+3i) 25-9i

=15+9i10i-6 = 9+19i bulunur.
25+9 34

Eşlenik İfadelerde Özellikler
·

· z=a+bi ise dir.

·

· z=a+bi ise dir.

·

· z=a+bi ise

·

·

·

·

MUTLAK DEĞER
z=a+bi ise dir.

Özellikleri:
·
·
·
·
·
·


KARMAŞIK DÜZLEM
z=a+bi karmaşık sayısında a ve b gerçek sayılardır.Karmaşık sayılarda daima Reel kısım önce, sanal kısım sonra yazılır.
Bu tür yazma biçimi, karmaşık sayıları reel sayı ikilileri ile gösterme kolaylığı sağlar.
z=a+bi karmaşık sayısı z=(a,b) şeklinde yazılabilir.
Örneğin z=(3,-2) karmaşık sayısı z=3-2i dir.
Bunu analitik düzlemde düşünebiliriz.Bu durumda ilk sayı reel kısmı, ikinci sayı sanal kısım olarak alınınca bir nokta belirler.
Bu gösterimde yatay eksen reel ekseni, düşey eksen de sanal ekseni belirtir.



Karmaşık sayının karmaşık düzlemde nokta olarak gösterilmesine, karmaşık sayının karmaşık düzlemdeki görüntüsü denir.
Bir karmaşık düzlemde her nokta bir karmaşık sayı, her karmaşık sayı da bir noktayı gösterir.Yani karmaşık düzlemdeki noktalar ile, bütün karmaşık sayılar bire bir eşlenebilirler.
Aşağıda bazı karmaşık sayıların karmaşık düzlemde görüntülerini görebiliriz:
z = 3-6i z^' = 5+i
z' = -4+6i z'^ = 3i
z'' = -4-5i z^^ = 1

Karmaşık düzlemde eşlenik sayı: Sayının görüntüsünün X eksenine göre simetriği o sayının eşleniğidir.Orijine göre simetriği ise sayının negatifidir.



KARMAŞIK DÜZLEMDE MUTLAK DEĞER
Karmaşık düzlemde bir sayının orijine uzaklığına, o noktaya karşılık gelen karmaşık sayının mutlak değeri denir.
ise dir.



[z]=5 eşitliği z noktalarının orjine olan uzaklığını sabit ve 5 birim olduğunu gösterir.O halde bu z noktaları,merkezi orijin ve yarıçapı 5 olan bir çember üzerindedir.




Tanım olarak [z]=r eşitliği merkezi orijinde ve yarıçapı r olan bir çemberin karmaşık düzlemdeki denklemini gösterir.



ise nin anlamı merkezi orijinde ve yarıçapı r olan bir çember ve bu çemberin iç bölgesini gösterir.


ve ise çemberin sınırladığı iç bölgeyi gösterir. Çember dahil olmadığı için nokta nokta çizilir.



ve ise merkezi orijinde ve yarıçapı r olan çemberin dış bölgesini gösterir.




ve ise merkezi orijinde ve yarıçapı r olan çember ve içi hariç dış bölgenin tümünü gösterir.



Örnek\z=x+yi ve z'=-1+4i ise [z]=[z'] olduğuna göre z noktalarının geometrik yeri nedir?

a)Merkezi orijinde yarıçapı 5 olan çember.
b)Merkezi orijinde yarıçapı 3 olan çember.
c)Merkezi orijinde yarıçapı 4 olan çember.
d)(-3,5)
e)0

Cevap/[z]=[-3+4i] ise bu da [z]= 5 eşitliğidir.Yani merkezi orijinde yarıçapı 5 olan çemberdir.
Yanıt A şıkkı.

Örnek\ ve eşitsizliğini sağlayan noktalar karmaşık düzlemde bir bölge oluşturur.bu bölgenin alanı kaç br karedir?

Cevap/



Bu bölge merkezleri orijinde ve yarıçapları 2 ve 4 birim olan iki çemberin sınırladığı bölgedir, alanı:


BİR KARMAŞIK SAYININ SANAL SAYI İLE ÇARPIMI
ve z=x+yi olsun.
i.z=i(x+yi) bu da iz=-y+xi olur.
iz=-y+xi olduğu için (-y,x) olur ve z noktası etrafında pozitif yönde 90 derece dönünce iz noktasının bulunacağı görülür.

Örnek\a=(5,2) noktası orijin etrafında negatif yönde 90 derece döndürülürse hangi nokta bulunur?

Cevap/Negatif yönde 90 derece döndürmak için -i ile çarpılır.
(5,2)=5+2i dir.
-i(5+2i)=-5i-2 = 2-5i
o halde A'=(2,-5) bulunur.

KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASI UZAKLIĞIN BULUNMASI
Karmaşık düzlemde iki nokta arası uzaklığın bunların farkının mutlak değeridir.

Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri düzlemde bir çemberdir.
Buna göre merkezi z'=a+bi ve yarıçapı r olan bir çemberin karmaşık düzlemdeki denklemi [z-z']=r biçiminde olur.
A={z:[z+2i] 2 } gibi ifadelerde A=(0,-2) şeklindedir ve yarıçapı 2 dir.
B={z:[z+2] 3 } ise B=(-2,0) şeklindedir ve yarıçapı 3 dür.

Örnek\z=4-7i ve z'=1-3i sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüleri arası uzaklık nedir?

Cevap/d=[z-z']=[(4-7i)-(1-3i)]
=[(4-1)+(-7+3)i]=[3-4i]
= = 5 birim

Örneğin\Merkezi z'=2+3i ve yarıçapı 4 olan bir çember denklemi:
[z-(2+3i)]=4 biçimindedir.


KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL KORDİNATLARLA GÖSTERİMİ
z=a+bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemde orijine birleştiren doğru parçasının [Oz]=r=[z] olur.Oz doğrusunun reel eksenle yaptığı yönlü açı da Q olsun.Karmaşık düzlemde bir r uzunluğu ve Q açısı verildiğinde z noktasının yeri bulunur.
Karşıt olarak bir z noktası verildiğinde r sayısı ve en az bir Q açısı bulunabilir.Q açısı açılarından biri olabilir.Yani bu açılardan her biri z nin üzerinde bulunduğu ışını belirtir.Bu ışın üzerinde r kadar alınarak z noktası bulunmuş olur.
z=0 sayısı için Q belirsizdir.Bundan dolayı r=0 almakla karmşık düzlemde z=0(orijin) notasını göstermiş olur.


ARGÜMENT
Bir karmaşık sayı için reel eksenin pozitif yönü ile yaptığı Q açısına o karmaşık sayının argümenti denir ve Arg z=Q biçiminde gösterilir.0 Q <360 arasında alınırsa buna z karmaşık sayısının esas argümenti denir ve Arg z=Q ile gösterilir.
Eğer z nin argümentini genel argüment Q+k.2 arg(z)=Q+k.2 ile gösterilir.
Esas argümente kısaca argüment denir.

BİR KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL KORDİNATLARDA YAZILMASI
z karmaşık sayısının kutupsal kordinatlarda yazılışı z=r(cosQ+i sinQ) şeklindedir.r ise dir.
z=r(cosQ+i sinQ) da aradaki işaret daima + olacağına göre bu yazılışı cos den (C), sin den (S) harfi alınarak kısaca r(cosQ+i sinQ)=r cisQbiçiminde yazılır.

KUTUPSAL KORDİNATLARDA İŞLEMLER
ÇARPMA İŞLEMİ
z=r(cosQ+i sinQ)
z'=r'(cos@+i sin@) olduğuna göre

z.z'=r.r'(cosQ+i sinQ).(cos@+i sin@) buradan da
z.z'=r.r'(cos(Q+@)+i sin(Q+@)) bulunur.

İki karmaşık sayının çarpımında mutlak değerler çarpılır, argümentler toplanır.

BÖLME İŞLEMİ
z=r(cosQ+i sinQ)
z'=r'(cos@+i sin@) ise

z = r =(cos(Q-@)+i sin(Q-@)) olarak bulunur.
z' r'

[z] =r ve Arg(z)=Q
[z']=r' ve Arg(z)=@ olduğuna göre

z = r Arg(z ) = Q-@ olur.
z' r' (z')

KARE VE KAREKÖK
z nin kare ve kareköklerini bulmak için De Moivre formülü kullanılır.
bulunur.
n=p içinde geçerlidir.
q
Dikkat edilmesi gereken nokta n=p olduğu zaman argüment , genel
q
argüment alınmalıdır.Çünkü k değeri değiştikçe başka sayılar da bulunur.
Constantin Ofline   Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Bu konuyu arkadaşlarınızla paylaşın


Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)
 
Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Açık
Smileler Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-KodlarıKapalı
Trackbacks are Açık
Pingbacks are Açık
Refbacks are Açık




Türkiye`de Saat: 12:02 .

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2008, Jelsoft Enterprises Ltd.
SEO by vBSEO 3.3.2

Sitemiz CSS Standartlarına uygundur. Sitemiz XHTML Standartlarına uygundur

Oracle DBA | Kadife | Oracle Danışmanlık



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580