Karmaşık Sayılar

[Constantin]

A)Sanal Sayı Kavramı
Sıfırdan farklı her reel sayının karesi pozitiftir, negatif olamaz.Sıfırın karesi sıfırdır.

Biz sanal olarak karesi negatif olan bir sayı düşünelim.Örneğin karesi -1 olan bir sayı alırsak bu sayı bir sanal sayıdır.bu sayıyı 'i' harfi ile gösterirler.
O halde dir.
Buna göre i sanal sayısı karesi -1 olan bir sayıdı.( )
Bu gösterimde , , , ,
Dikkat edilirse i'nin kuvvetleri daima {i,-1,-i,1}dir.

değerinin hangi eleman olduğunu şöyle buluruz: i nin üssü olan n sayısını 4'e böleriz.
Eğer:
kalan 0 ise sonuç 1
kalan 1 ise sonuç i
kalan 2 ise sonuç -1
kalan 3 ise sonuç -i dir.

Sanal Sayılarla İşlemler
Toplama,çıkarma ve çarpmada (i)'yi bir harf gibi alır, sonuçta (i)'nin bir kuvveti varsa değerini yazarak işlemi yaparız.
Örneğin:
a)2i+3i-5i+6i=6i
b)3i-5i+i=-i
c)

örnek\ olduğuna göre


cevap\ 127 yi 4 e bölersek 3, 445 i bölersek 1, 1997 yi bölersek 1 kalır yani:

bulunur.


B)Karmaşık Sayılar
ve olmak üzere a+bi=z sayısına karmaşık sayı denir.
ifadesinde katsayılar reel sayı, üsler doğal sayı olduğu zaman P(x) bir polinom olur.
Her P(x) polinomu için alındığında P(i) nin daima a+bi olacağını görürüz.
Örneğin; polinomunda
= bulunur.

Karmaşık sayılar kümesi C harfi ile gösterilir.
z=3+2i ; dir.
Bir karmaşık sayı iki kısımdan oluşur.Bunlar reel kısım ve sanal kısımlardır.
z=a+bi karmaşık sayısında a reel kısım, b ise sanal kısımdır.
Reel kısım Re(z)=a, sanal kısım İm(z)=b biçiminde yazılarak gösterilir.

Karmaşık Sayıların Eşitliği

z=a+bi iken yani a+bi=x+yi ise a=x,b=y dir.
Eşit karmaşık sayılarda reel kısımlar bir birine,sanal kısımlar birbirine eşittir.

Karmaşık Sayının Eşleniği
Bir karmaşık sayının eşleniği,sanal kısmın işareti değiştirilerek elde edilen karmaşık sayıdır.Eşlenik sayı,esas karmaşık sayının üstüne bir çizgi çekilerek belirlenir.
z=a+bi ise eşleniği dir.
3+2i nin eşleniği 3-2i dir.

Karmaşık Sayılarda İşlemler
Karmaşık sayılarla, toplama çıkarma ve çarpma işlemleri polinomlarda olduğu gibi yapılır.

TOPLAMA İŞLEMİ
Toplamada, reel kısımlar toplanıp reel kısım; sanal kısımlar toplanıp sanal kısım bulunur.
Karmaşık sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı reel ve sanal kısımları 0(sıfır) olan karmaşık sayıdır.
Bir z karmaşık sayısının toplamaya göre tersi -z dir.

örnek/z'=3-2i , z^=5+7i , z^^=-6+3i olduğuna göre z'+z^+z^^ toplamı nedir?

cevap\(3-2i)+(5+7i)+(-6+3i)ise
3+5-6=2 ve -2i+7i+3i=8i dir.
=2+8i

ÇIKARMA İŞLEMİ
İki karmaşık sayının farkı, için çıkan sayının toplamaya göre tersi ile toplamı yapılır, yani çıkan sayının işaretleri değiştirilerek toplama yapılır.

örnek/z=5+2i ve z'=4-3i ise z-z'=?

cevap\z-z'=(5+2i)-(4-3i)
=5+2i-4+3i
=1+5i bulunur.

ÇARPMA İŞLEMİ
Polinomlarda olduğu gibi yapılır.i nin kuvvetleri i türünden hesaplanarak çarpma işlemi yapılır.

örnek/z=3+4i ve z'=2-3i ise
z.z'=(3+4i).(2-3i)
=6-9i+8i+12
=6-9i+8i+12
=18-i bulunur.

BÖLME İŞLEMİ
Pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılarak yapılır.
dir.

örnek/
olduğuna göre 3+2i işleminin sonucu nedir.? 5-3i

cevap\ 3+2i = (3+2i).(5+3i) = 15+9i+10i+6
5-3i (5-3i).(5+3i) 25-9i

=15+9i10i-6 = 9+19i bulunur.
25+9 34

Eşlenik İfadelerde Özellikler
·

· z=a+bi ise dir.

·

· z=a+bi ise dir.

·

· z=a+bi ise

·

·

·

·

MUTLAK DEĞER
z=a+bi ise dir.

Özellikleri:
·
·
·
·
·
·


KARMAŞIK DÜZLEM
z=a+bi karmaşık sayısında a ve b gerçek sayılardır.Karmaşık sayılarda daima Reel kısım önce, sanal kısım sonra yazılır.
Bu tür yazma biçimi, karmaşık sayıları reel sayı ikilileri ile gösterme kolaylığı sağlar.
z=a+bi karmaşık sayısı z=(a,b) şeklinde yazılabilir.
Örneğin z=(3,-2) karmaşık sayısı z=3-2i dir.
Bunu analitik düzlemde düşünebiliriz.Bu durumda ilk sayı reel kısmı, ikinci sayı sanal kısım olarak alınınca bir nokta belirler.
Bu gösterimde yatay eksen reel ekseni, düşey eksen de sanal ekseni belirtir.



Karmaşık sayının karmaşık düzlemde nokta olarak gösterilmesine, karmaşık sayının karmaşık düzlemdeki görüntüsü denir.
Bir karmaşık düzlemde her nokta bir karmaşık sayı, her karmaşık sayı da bir noktayı gösterir.Yani karmaşık düzlemdeki noktalar ile, bütün karmaşık sayılar bire bir eşlenebilirler.
Aşağıda bazı karmaşık sayıların karmaşık düzlemde görüntülerini görebiliriz:
z = 3-6i z^' = 5+i
z' = -4+6i z'^ = 3i
z'' = -4-5i z^^ = 1

Karmaşık düzlemde eşlenik sayı: Sayının görüntüsünün X eksenine göre simetriği o sayının eşleniğidir.Orijine göre simetriği ise sayının negatifidir.



KARMAŞIK DÜZLEMDE MUTLAK DEĞER
Karmaşık düzlemde bir sayının orijine uzaklığına, o noktaya karşılık gelen karmaşık sayının mutlak değeri denir.
ise dir.



[z]=5 eşitliği z noktalarının orjine olan uzaklığını sabit ve 5 birim olduğunu gösterir.O halde bu z noktaları,merkezi orijin ve yarıçapı 5 olan bir çember üzerindedir.




Tanım olarak [z]=r eşitliği merkezi orijinde ve yarıçapı r olan bir çemberin karmaşık düzlemdeki denklemini gösterir.



ise nin anlamı merkezi orijinde ve yarıçapı r olan bir çember ve bu çemberin iç bölgesini gösterir.


ve ise çemberin sınırladığı iç bölgeyi gösterir. Çember dahil olmadığı için nokta nokta çizilir.



ve ise merkezi orijinde ve yarıçapı r olan çemberin dış bölgesini gösterir.




ve ise merkezi orijinde ve yarıçapı r olan çember ve içi hariç dış bölgenin tümünü gösterir.



Örnek\z=x+yi ve z'=-1+4i ise [z]=[z'] olduğuna göre z noktalarının geometrik yeri nedir?

a)Merkezi orijinde yarıçapı 5 olan çember.
b)Merkezi orijinde yarıçapı 3 olan çember.
c)Merkezi orijinde yarıçapı 4 olan çember.
d)(-3,5)
e)0

Cevap/[z]=[-3+4i] ise bu da [z]= 5 eşitliğidir.Yani merkezi orijinde yarıçapı 5 olan çemberdir.
Yanıt A şıkkı.

Örnek\ ve eşitsizliğini sağlayan noktalar karmaşık düzlemde bir bölge oluşturur.bu bölgenin alanı kaç br karedir?

Cevap/



Bu bölge merkezleri orijinde ve yarıçapları 2 ve 4 birim olan iki çemberin sınırladığı bölgedir, alanı:


BİR KARMAŞIK SAYININ SANAL SAYI İLE ÇARPIMI
ve z=x+yi olsun.
i.z=i(x+yi) bu da iz=-y+xi olur.
iz=-y+xi olduğu için (-y,x) olur ve z noktası etrafında pozitif yönde 90 derece dönünce iz noktasının bulunacağı görülür.

Örnek\a=(5,2) noktası orijin etrafında negatif yönde 90 derece döndürülürse hangi nokta bulunur?

Cevap/Negatif yönde 90 derece döndürmak için -i ile çarpılır.
(5,2)=5+2i dir.
-i(5+2i)=-5i-2 = 2-5i
o halde A'=(2,-5) bulunur.

KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASI UZAKLIĞIN BULUNMASI
Karmaşık düzlemde iki nokta arası uzaklığın bunların farkının mutlak değeridir.

Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri düzlemde bir çemberdir.
Buna göre merkezi z'=a+bi ve yarıçapı r olan bir çemberin karmaşık düzlemdeki denklemi [z-z']=r biçiminde olur.
A={z:[z+2i] 2 } gibi ifadelerde A=(0,-2) şeklindedir ve yarıçapı 2 dir.
B={z:[z+2] 3 } ise B=(-2,0) şeklindedir ve yarıçapı 3 dür.

Örnek\z=4-7i ve z'=1-3i sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüleri arası uzaklık nedir?

Cevap/d=[z-z']=[(4-7i)-(1-3i)]
=[(4-1)+(-7+3)i]=[3-4i]
= = 5 birim

Örneğin\Merkezi z'=2+3i ve yarıçapı 4 olan bir çember denklemi:
[z-(2+3i)]=4 biçimindedir.


KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL KORDİNATLARLA GÖSTERİMİ
z=a+bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemde orijine birleştiren doğru parçasının [Oz]=r=[z] olur.Oz doğrusunun reel eksenle yaptığı yönlü açı da Q olsun.Karmaşık düzlemde bir r uzunluğu ve Q açısı verildiğinde z noktasının yeri bulunur.
Karşıt olarak bir z noktası verildiğinde r sayısı ve en az bir Q açısı bulunabilir.Q açısı açılarından biri olabilir.Yani bu açılardan her biri z nin üzerinde bulunduğu ışını belirtir.Bu ışın üzerinde r kadar alınarak z noktası bulunmuş olur.
z=0 sayısı için Q belirsizdir.Bundan dolayı r=0 almakla karmşık düzlemde z=0(orijin) notasını göstermiş olur.


ARGÜMENT
Bir karmaşık sayı için reel eksenin pozitif yönü ile yaptığı Q açısına o karmaşık sayının argümenti denir ve Arg z=Q biçiminde gösterilir.0 Q <360 arasında alınırsa buna z karmaşık sayısının esas argümenti denir ve Arg z=Q ile gösterilir.
Eğer z nin argümentini genel argüment Q+k.2 arg(z)=Q+k.2 ile gösterilir.
Esas argümente kısaca argüment denir.

BİR KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL KORDİNATLARDA YAZILMASI
z karmaşık sayısının kutupsal kordinatlarda yazılışı z=r(cosQ+i sinQ) şeklindedir.r ise dir.
z=r(cosQ+i sinQ) da aradaki işaret daima + olacağına göre bu yazılışı cos den (C), sin den (S) harfi alınarak kısaca r(cosQ+i sinQ)=r cisQbiçiminde yazılır.

KUTUPSAL KORDİNATLARDA İŞLEMLER
ÇARPMA İŞLEMİ
z=r(cosQ+i sinQ)
z'=r'(cos@+i sin@) olduğuna göre

z.z'=r.r'(cosQ+i sinQ).(cos@+i sin@) buradan da
z.z'=r.r'(cos(Q+@)+i sin(Q+@)) bulunur.

İki karmaşık sayının çarpımında mutlak değerler çarpılır, argümentler toplanır.

BÖLME İŞLEMİ
z=r(cosQ+i sinQ)
z'=r'(cos@+i sin@) ise

z = r =(cos(Q-@)+i sin(Q-@)) olarak bulunur.
z' r'

[z] =r ve Arg(z)=Q
[z']=r' ve Arg(z)=@ olduğuna göre

z = r Arg(z ) = Q-@ olur.
z' r' (z')

KARE VE KAREKÖK
z nin kare ve kareköklerini bulmak için De Moivre formülü kullanılır.
bulunur.
n=p içinde geçerlidir.
q
Dikkat edilmesi gereken nokta n=p olduğu zaman argüment , genel
q
argüment alınmalıdır.Çünkü k değeri değiştikçe başka sayılar da bulunur.