Piramit Küre ve Koni

[Constantin]

PİRAMİTLERBir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir.

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1720.gif
T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi.
Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.
T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur.
|TH| = h biçiminde yazılır. [TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır.
Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1721.gif
1.Kare Piramit http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1722.gif Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.
İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.
|PH| = h piramidin yüksekliğidir.
Yan yüz yüksekliği |PK| dır.
Tabanının bir kenarına a dersek
http://www.matematikci.org/oss/geome.../geoka1704.gif
Buradan yan yüz yüksekliği
|PK|2 = h2 + (http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1723.gif )2 olur.
http://www.matematikci.org/oss/geome.../geoka1703.gif
http://www.matematikci.org/oss/geome...eo_1724.gifTüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.

2. Eşkenar Üçgen Piramit
Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1725.gif
Taban Alanıhttp://www.matematikci.org/oss/geome.../geo_1726.gif3. Düzgün Dörtyüzlü

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1727.gif
Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir. Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.
Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün
Yarı yüz yüksekliğihttp://www.matematikci.org/oss/geometri/17g_dosyalar/geo_1728.gifve Cisim yüksekliğihttp://www.matematikci.org/oss/geometri/17g_dosyalar/geo_1729.gif olurBuradan
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1730.gif
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1731.gif
4. Düzgün Sekizyüzlü
Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir.
Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1728.gif olur.
Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu
düşünürsek piramitlerin yüksekliği;
olur.
http://www.matematikci.org/oss/geome...2.gifPiramitin hacmi http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1733.gif olduğundan;
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1734.gif
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1735.gif
Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1736.gif
5. Düzgün Altıgen Piramit
Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir.
Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.
KONİ
Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir.
Taban alanı =http://www.matematikci.org/oss/geometri/17g_dosyalar/geo_1737.gifolduğundanhttp://www.matematikci.org/oss/geometri/17g_dosyalar/geo_1738.gif
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1739.gif
bulunur. Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur.
KONİ

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1740.gif
Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir.
Burada;
Taban yarıçapı |OB| = r
Cisim yüksekliği |PO| = h olur.
|PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir.
POB dik üçgeninde,
h2 + r2 = l2 bağıntısı vardır.
Koninin yanal alanı bir daire dilimidir.
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1741.gif
Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,
Yanal alan= pr2+prl
Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir.
Tüm alan = šr2 + šrl
Daire diliminin merkez açısına a dersekhttp://www.matematikci.org/oss/geometri/17g_dosyalar/geo_1742.giforanı elde ederiz.
Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir.http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1743.gif

Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.şekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir.http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1744.gif
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1745.gif
Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır.
[O1B] // [O2D] olduğundan
http://www.matematikci.org/oss/geome....gifbenzerliği vardır.Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı http://www.matematikci.org/oss/geome...eo_1747.gifdir. Alanları
oranı benzerlik oranının
karesi olduğundan, alanlar oranı http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1748.gif olur. Hacimler oranı
ise benzerlik oranının küpüdür. r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2 yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1749.gif

http://www.matematikci.org/oss/geome...o_1750.gifKÜRE
Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir.http://www.matematikci.org/oss/geome.../geo_1751.gifO merkezli R yarıçaplı kürede;
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1752.gif
Yüzey alanıhttp://www.matematikci.org/oss/geome.../geo_1753.gif1. Küre Dilimi
[KL] çap
m(AOB) = a
şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1754.gif
http://www.matematikci.org/oss/geome.../geo_1755.gif2. Küre Kapağı

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_1756.gif
Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür.
Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir. Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek
|OP|2 + r2 = R2eşitliği vardır. h = R - |OP|Küre kapağının alanı= 2pRhYandaki şekildeki gibi olan
Küre parçasının haçmihttp://www.matematikci.org/oss/geometri/17g_dosyalar/geo_1757.gifhttp://www.matematikci.org/oss/geometri/17g_dosyalar/geo_1758.gif