Beşiktaş Forum ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi

OLASILIK

ÖRNEK UZAY ve ÖRNEK NOKTA

Bir deney sonucunda gelebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay (E), bu kümenin her elemanına da “örnek nokta” denir.

ÖRNEK:
Bir madeni para atıldığında örnek uzayın iki elemanı vardır.

E= {Yazı,Tura}={Y,T}

ÖRNEK:
2 madeni para atılması deneyinde örnek uzay E={YY,YT,TY,TT}

UYARI
N tane madeni paranın havaya atılması (veya bir paranın n kez atılması) deneyinde s(E) = 2.2.....2= 2n dir.

ÖRNEK:
İçerisinde 4 siyah, 3 beyaz ve 2 kırmızı top bulunan bir torbadan rasgele üç top seçme deneyinde örnek uzayın eleman sayısını bulalım.

ÇÖZÜM

Torbada: 4+3+2=9 top vardır. 9 toptan 3’ü seçileceğinden örnek uzayın eleman sayısı:
S(E)= C(9,3) = 9.8.7 = 84 bulalım

1.2.3
ÖRNEK:
1,2,3,4,5 rakamları ile yazılabilecek üç basamaklı sayılar yazma deneyinde örnek uzayın eleman sayısı S(E) = 5.5.5 = 125 dir.

OLAY: Örnek uzayın alt kümelerinden her birine olay denir.

KESİN OLAY: Olması kesin olan olaylara denir. Yani olay kümesi, örnek uzay kümesine eşit olan olaylardır.

İMKANSIZ OLAY: Olması mümkün olmayan olaydır.

ÖRNEK:

1. İki madeni para atılması deneyinde en az bir tura gelmesi olayı;
A = {TT,TY,YT} olur.
2. İki zarın havaya atılması deneyinde üste gelen sayıların
i) Aynı olması olayı A olsun.
A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
ii) Toplamının 5 olması olayı B olsun
B = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} dır.
iii) Toplamının 14 olması imkansız olaydır.
iv) Birinin 7’den küçük, diğerinin 0’dan büyük olması olayı kesin olaydır.

OLASILIK FONKSİYONU

E örnek uzayının tüm alt kümelerinin kümesi K olsun.

P:K [0,1]

A P(A) fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlıyor ise P fonksiyonuna “olasılık fonksiyonu” denir.

1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) P(Æ) = 0 (imkansız olay)
3) P(E) = 1 (kesin olay)
4) P(A’) : A olayının olmama olasılığı ise ve
P(A) = 1-P(A’) dir.

EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY

Yapılan bir deneyde bütün çıkabilenlerin olasılıkları eşit ise “eş olumlu örnek uzay” denir.

P(A) = s(A) = İstenen durumlar sayısı dır.
s(E) Tüm durumlar sayısı

ÖRNEK:

i) Bir madeni para atılması deneyinde yazı gelmesi ile tura gelmesi olasılıkları eşittir.

P(Y) = P(T) = 1 dir.
2
ii) Bir zar atılması deneyinde 1 gelme olasılığı ile 2,3,4,5 ve 6 gelme olasılıkları eşittir.

AYRIK OLAYLAR

Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya “ayrık olaylar” denir. A ve B ayrık iki olay ise A veya B den en az birinin ortaya çıkma olasılığı, bu iki olayın olasılıkları toplamına eşittir.
P(AÈB) = P(A) + P(B) dir.

ÖRNEK:

Bir zar atıldığında
Tek sayı gelme olayı: A = (1,3,5)
Çift sayı gelme olayı: B = (2,4,6)
Asal sayı gelme olayı C = (2,3,5) olsun.
Buradan :

1) A Ç B = (1,3,5) Ç (2,4,6) = Æ olduğundan A ve B ayrık olaylardır
2) A Ç C = (1,3,5) Ç (2,3,5) = (3,5) olduğundan ayrık olaylar değildir.
NOT: A ve B ayrık olaylar değil ise
P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) dir.

ÖRNEK :
Bir kutuda 5 siyah ve 4 beyaz top bulunmaktadır. Bu kutudan

a) Çekilen bir topun siyah olma olasılığı :

P(S) = Siyah top sayısı = 5 bulunur.
Toplam top sayısı 9

b) Çekilen iki topun ikisinin de beyaz olma olasılığını bulalım.

İstenen durum sayısı: 4 beyaz toptan 2 tanesini çekmek s 4 = 6 dir.
2

Tüm durumlar sayısı : Toplam 9 toptan 2 tanesini çekmek s(E) = 9 = 36 dir.
2
Sonuç olarak : P(A) = s(A) = 6 = 1 dır.
S(E) 36 6

c) Çekilen iki topun farklı renkte olma olasılığını bulalım.

İstenen durum sayısı: s(A) = 5 4 = 20 dır.
1 1
P(A) = s(A) = 20 = 5 olur.
s(E) 36 9

d) Çekilen iki toptan birincinin siyah, ikincinin beyaz olma olasılığını bulalım. Buradan sıralama verilmektedir. Birincinin siyah olma olasılığı = 5 dır. Kalan top
9
sayısı 9 – 1 = 8 olduğuna göre ikincinin beyaz olma olasılığı = 4 dir.
8
Sonuç olarak:
P(BS) = 5 . 4 = 5
9 8 18

ÖRNEK:
İçinde 6 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan bir torbadan çekilen bilye tekrar torbaya atılmak üzere iki bilye çekiliyor.

a) Çekilen iki bilyenin ikisinin de kırmızı olma olasılığı
b) Çekilen iki bilyenin farklı renkte olma olasılığı
c) Çekilen iki bilyenin aynı renkte olma olasılığı
d) Çekilen iki bilyeden birincisinin kırmızı ikincisinin beyaz olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

a) P(KK) = 5 . 5 = 25 dır.
8 8 64
b) P(KS) + P(SK) = 6 . 4 + 4 . 6
10 10 10 10
= 48 = 12
100 25
c) P(KK) + P(BB) = 6 . 6 + 4 . 4
10 10 10 10
= 52 = 13
100 25
d) P(KB) = 6 . 4 = 24 = 6
10 10 100 25

ÖRNEK:

Bir torbada bulunan 6 beyaz 5 kırmızı ve 4 siyah bilye vardır. Torbadan rastgele çekilen 3 bilyenin
a) Üçününde beyaz olma olasılığı
b) Üçününde aynı renkte olma olasılığı
c) Üçününde farklı renkte olma olasılığı
d) 1. nin beyaz, 2. nin kırmızı ve 3. nün siyah olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

6+5+4 = 15 bilyeden 3’ü C(15,3) = 455 değişik şekilde seçileceğinden örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 455’tir.
a) Seçilen üç bilyenin üçünün de beyaz olma olayı A olsun.
6 beyaz bilyeden 3’ü C(6,3) = 20 değişik şekilde seçileceğinden s(A) = 20 dir.
P(A) = s(A) = 20 = 4 bulunur.
S(E) 455 91
b) Üçününde aynı renkte olma olayı B olsun.
6 beyazdan, 3 beyaz: C(6,3) = 20
5 kırmızıdan, 3 kırmızı: C(5,3) =10
4 siyahtan, 3 siyah: C(4,3) = 4 değişik şekilde seçileceğinden, aynı renkli 3 bilye 20+10+4 = 34 farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre
P(B) = s(B) = 34
S(E) 455
c) Seçilen her 3 bilyeninde farklı renklerde olma olayı C olsun.

6 beyazdan biri C(6,1)
5 kırmızıdan biri C(5,1) s(C) = C(6,1).C(5,1).C(4,1)
4 siyahtan biri C(4,1) =6.5.4 = 120
ise s(C) = 120 = 24
s(E) 455 91

d) Bu soruda sıralama vardır.
Birincinin beyaz olma olasılığı : 6
15
İkincinin kırmızı olma olasılığı : 5
14
Üçüncünün siyah olma olasılığı : 4
13
P(D) = 6 . 5 . 4 = 4
15 14 13 91

ÖRNEK:
3 kadın ve 4 erkekten oluşan bir komitenin üyelerinin adları birer karta yazılarak bir torbaya konuluyor. Torbadan rastgele çekilen 3 kartın birinde bir kadının diğerlerinde birer erkeğin isimlerinin yazılı olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:
Torbadan 3 kart çekildiğinde, çekilenlerin kümesi örnek uzay E ise
s(E) =C(7,3) = 35 tir.

Çekilen 3 karttan birinde bir kadın diğerlerinde birer erkeğin isimlerinin yazılı olma olayı A olsun.

S(A) = s(A) = 18 bulunur.
s(E) 35
ÖRNEK:

3 madeni para atılıyor. Bu atışta en az bir tura gelme olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:
E = { YYY,YYT,YTY,TYY,YTT,TYT,TTY,TTT}
Ve en az bir tura gelmesi
A = {YYT,YTY,TYY,YTT,TYT,TTY,TTT}
P(A) = 7 dir.
8

Veya : En az bir tura gelmesini hiç yazı gelmemesi şeklinde de ifade edebiliriz.

P(A) = 1 – P(YYY) = 1 – 1 = 7 dır.
8 8

ÖRNEK:
A = {1,2,3,4,5} kümesinin elemanları ile farklı 3 basamaklı sayılar ayrı ayrı kartlara yazılıp torbaya konuyor.
Torbadan rastgele çekilen bir karttaki sayının tek olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:
Rakamları farklı 3 basamaklı tüm sayılar

s(E) = 5 . 4 . 3 = 60 tanedir.

Bunlardan tek sayı olanları

s(A) = 3 4 3 = 36 tanedir.

P(A) = s(A) = 36 = 3 dir.
s(E) 60 5

ÖRNEK:
Bir sınava giren A,B,C isimlerinden oluşan 3 öğrenciden A’nın sınavı kazanma olasılığı B’nin kazanma olasılığının 2 katı, B’nin sınavı kazanma olasılığı ise C’nin kazanma olasılığının 2 katı olduğuna göre A’nın sınavı kazanma olasılığı
3
nedir?

ÇÖZÜM:
P(A) = 2P(B) ve P(B) = 2 . P(C) dir
3

2.P(B) + P(B) + 3P(B) = 1 ise P(B) = 2
2 9

ve P(A) = 2P(B) = 2.2 = 4 bulunur.
9 9

KOŞULLU OLASILIK

A,B;E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A’nın B’ye bağlı koşullu olasılığı denir ve

P(A / B) ile gösterilir.

P(A / B) = P(A Ç B) , P(B) ¹Æ
P(B)

ÖRNEK:
Bir çift zarın birlikte atılması deneyinde zarlardan birinin 5 geldiği bilindiğine göre, toplamının 10’dan büyük olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:
İki zarın atılması deneyinde örnek uzay;
E = {(1,1), (1,2),... (6,5), (6,6)} yani
s(E) = 36 dır.
B = {(5,1), (1,5), (5,2), (2,5), ... (5,6)} yani
s(B) = 11 dir.
A = {(5,6),(6,5)} ise s(A) = 2 ve A Ç B = {(5,6),(6,5)} Buna göre,

s(A Ç B)
s(E)
P(A / B) = P(A Ç B) = = s(A Ç B) = 2
P(B) s(B) s(B) 11
s(E)

ÖRNEK:

1’den 10’a kadar (10 top) numaralandırılmış, aynı özellikteki toplar arasından rastgele çekilen bir topun asal sayı olduğu bilindiğine göre, çift sayı olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:

E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ise s(E) = 10
B = {2,3,5,7} ise s(B) = 4
A = {2} ise s(A) = 1
Buna göre;

s(A Ç B)
s(E)
P(A / B) = P(A Ç B) = = 1
P(B) s(B) 4
s(E)
ÖRNEK:
25 kişilik bir sınıfta fizik dersinden geçen 10 kişidir. Matematik ve fizik derslerinden her ikisinden geçen 3 kişidir. Her iki dersten kalan ise 10 kişidir. Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin matematikten geçtiği bilindiğine göre fizikten de geçmiş olma olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM:
Yukarıdaki ifadeye göre şema çizilirse;

E M F

5 3 7

10

P(F/M) = P(F ÇM) = 3 bulunur.
P(M) 8

SONSUZ ÖRNEK UZAYLI OLAYLAR:

Örnek uzay E, E = {e1,e2,e3,....} gibi sayılabilir sonsuzlukta örnek uzay olsun. Aynı şekilde olay A = {a1,a2,a3,...} gibi sayılabilir sonsuzlukta bir olay ise,
P(A) = s(A) dir.
S(E)

Örnek uzay bir şeklin alanı, uzunluğu gibi sayılabilir sonsuzlukta ifadelerdir. Aynı şekilde olay kümesi de bu örnek uzayın herhangi bir kesiti ise olasılık yukarıda ifade edildiği gibi,

P(A) = A nın uzunluğu ya da
E nin uzunluğu

P(A) = A nın alanı biçiminde hesaplanır.
E nin alanı

ÖRNEK:

Bir çemberin içerisinde rasgele seçilen bir noktanın çemberden çok merkezine yakın olma olasılığı kaçtır?

r

B
O r/2

A

ÇÖZÜM:
O merkezli büyük çemberin yarıçapına r dersek, küçük çemberin yarıçapı da r olur. 2
Rasgele işaretlenen noktanın B bölgesi olması istendiğine göre,
Örnek uzay: A + B bölgelerinin alanları toplamıdır.
Olay: B bölgesinin alanıdır.
Buna göre olasılığı ise,
2
1 r r2
B nin alanı = 2 .p = 4 = r2 = 1
(A+B) alanı p.r2 r2 4r2 4