Beşiktaş Forum  ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi


Geri git   Beşiktaş Forum ( 1903 - 2013 ) Taraftarın Sesi > Taraftar > Gündem Dışı > Teknoloji

Teknoloji Bu Bölümde Uydu vb. teknolojik gelişimler izlenir.

Cevapla
 
LinkBack Seçenekler Stil
Alt 27-10-2006, 16:49   #1
 
OnuR - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 
Matematiğin İmkansızları

Burada matematiğin, imkansız olduğunu ispatladığı ifadeleri bulacaksınız. Bir şeyin varolduğunu ispatlamak çoğu zaman zorlamaz, çünkü hedef bellidir, varolduğunu iddia ettiğiniz varsayımın peşinde koşarsınız. Peki ya bir şeyin var olmadığını ya da bir işin yapılmasının imkansız olduğunu göstermek? Birkaç denemede başarısız olup da, yapamıyoruz ya da bulamıyoruz demek yeterli olur mu? Olmaz.Bunun, hiçbir şekilde mümkün olmadığını ispatlamak gerekir. Her zaman olmasa da, bu tarz ispatlar matematikçileri çok zorlayabiliyor ve çözüme kavuşması yüzyılları bulabiliyor.

Antik Çağın İmkansız Problemleri

Bir pergel ve (ölçüsüz) bir cetvel kullanarak;
Verilen herhangi bir açıyı 3 e bölemeyiz!

Verilen Bir küpün hacminin iki katına eşit hacimli bir küp çizemeyiz!

Verilen bir çemberinin alanına eşit alanlı bir kare çizemeyiz!

MÖ.500 civarı, Yunan tarihininden çıkma bu 3 problemin imkansızlığı, onlar ortaya çıktıktan yaklaşık 2000 yıl sonra bulunmuştur. Çözümü, cebirde, grup kuramının içinde yeralan Galois Kuramı kullanılarak yapılmaktadır. Bu çizimleri gerçekleştirdiğini düşünen pek çok insanın içine düştüğü iki önemli hata vardır:
  1. Çizimler yapılırken, pergeli çember çizmek için (açıyı hiç bozmadan pergeli tekrar kullanabilirsiniz), cetveli de (ölçü kullanmadan) sadece düz çizgi çizmek için kullanıyoruz. Bunun aksine hareket edenler açıyı üçe bölmeyi başarabilir ama bu gerçek bir başarı olmaz.
  2. Kimileri bu kuralları kullanarak bazı açıları gerçekten 3e bölmeyi başarabiliyor. Sözkonusu olan açılarsa 90-180 gibi açılar. Oysa ki eldeki teorem verilen herhangi bir açının üçe bölünemeyeceğinden bahsediyor. Bu, "hiçbir açıyı üçe bölümeyiz" den ziyade "her açıyı üçe bölünemeyiz" anlamına geliyor. Aradaki farka dikkat edin.
Açının üçe bölünemeyeceğinin ispatı yapılırken, sadece bir açının örneğin 60°'nin üçe bölünmeyeceğinin ispatının yapılması yeterli oluyor. Bu imkansız problemler 1837'de Fransız matematikçi, Pierre Laurent Wantzel tarafından ispatlandı.

Doğal Sayılar ile Gerçel sayılar arasında birebir eşleme yapmak mümkün değil!

Bu problemi anlamak için, önce, birebir eşleme yapmanın ne anlama geldiğini anlamak lazım. Birebir eşleme, iki küme arasında kurulan bir ilişkidir. İki küme birebir eşlenebilir, yalnız ve ancak kümelerdeki her elemana diğer kümeden karşılık gelecek bir eleman varsa. Buradan çıkacak ilk sonuç, her kümenin kendisi ile birebir eşlenebileceğidir. Bunu ispatlamak için, her elemanı kendine gönderen bağıntıyı seçmek yeterli olacaktır. Sınırlı kümeler için de bu iş oldukça kolaydır. Ama sınırsız sayıda elemanı olan kümeler işi biraz zorlaştırabilir. Örneğin doğal sayılar kendisinin bir alt kümesi olan çift sayılar kümesiyle birebir eşlenebilir:
Click the image to open in full size.
Benzer bir eşleme, rasyonel sayılarla doğal sayılar arasında da yapılabilir. Uzunca bir süre kimse gerçel sayılarla, doğal (ya da rasyonel) sayılar arasında bu tarz bir eşleme yapamamıştır. Kimsenin böyle bir eşlemeyi bulamaması onun varolmadığı anlamına gelmiyor çünkü var değilse bile bunu da ispatlamak gerekiyor. Bu ispat 1874 de George Cantor tarafında yapılmış.

Cantor Teoremi:
Bir küme ile kendisinin kuvvet kümesi arasında birebir eşleme yapılamaz
Aslında bir önceki ifade bu ifadenin özel bir durumu. Çünkü Gerçel sayılar kümesi doğal sayıların kuvvet kümesi.
Biz ispatı elimizdeki özel durum için yapalım. Doğal sayılar kümesini N, kuvvet kümesini de K(N) ile gösterelim. Varsayalım ki N kümesi K(N)'ye birebir eşlenebilsin. Bu eşlemeyi sağlayan bağıntıya da b diyelim. Amacımız b bağıntısının örten olmadığını göstermek, diğer bir deyişle Kuvvet kümesindeki bir elemanın (yani N kümesinin bir alt kümesinin) b bağıntısı altında N kümesinde bir elemanla eşleşemediğini göstereceğiz. b eşlemesi, sözgelimi, şu tarz bir eşleşme olacak.
Click the image to open in full size.
Bazı sayılar kendisinin içinde olmadığı alt kümelerle eşleşebiliyor. Burada, 2 ve 4 bu elemanlara örnek.
Şimdi biz bu tarz elemanları alıp bir alt kümeye koyalım.
Click the image to open in full size.
Açıkca A, doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi. Bu özelliğinden dolayı A kümesi kuvvet kümesinin bir elemanı olmalı. (Çünkü, zaten kuvvet kümesi, sözkonusu kümenin bütün alt kümelerin kümesi demek) Öyleyse N kümesinde öyle bir eleman olmalı ki bu A kümesine eşlenmeli:
Click the image to open in full size.
? yerine geçecek eleman hangisi? Bu eleman, A kümesinden olamaz çünkü öyle olsa o eleman zaten kendinin içinde olduğu bir kümeye eşlenmiş olurdu ve bu A kümesinin elemanı olmasına engel teşkil ederdi. Öte yandan A kümesi dışından bir eleman olsa, kendinin içinde olmadığı bir kümeye eşlendiği için A kümesinin bir elemanı olmaya hak kazanacaktı, bu durum da yine bir çelişkiye yol açacaktı. (Unutmayın A kümesi ile dışı, bütün doğal sayılar kümesini oluşturuyor) Öyleyse yapılan bu sözde birebir eşlemede A kümesine eşlenen bir eleman yok yani kuvvet kümesinde en az bir eleman açıkta. Sonuç olarak başlangıçtaki kabulümüz yanlıştır. Doğal sayılar kümesi kuvvet kümesi ile birebir eşlenemez. Kuvvet kümesi de Gerçel sayılar kümesi ile birebir eşlenebildiğinden, doğal sayılar kümesi gerçel sayılar kümesiyle birebir eşlenemez diyoruz.

Doğru ya da yanlış olduğunun kanıtlanması
asla mümkün olmayan varsayım:

Süreklilik Hipotezi
Alman Matematikçi George Cantor sonsuzları hiyerarşik bir sıraya sokan bir çalışma yapmıştır. Buna göre, sonsuz kavramı şöyle tanımlanmıştır: Eğer bir koleksiyon (kendisine eşit olmayan) bir alt koleksiyonu ile birebir eşitlenebiliyorsa o koleksiyon sonsuzdur ya da sonsuz sayıda eleman içerir denir. Matematikte önce saymaya başladığımızdan aklımıza gelen ilk sonsuzluk doğal sayıların sınırsız olduğudur. Doğal sayıların bir alt kümesi olan çift sayılar da sonsuz tanedir. Bu iki küme, birbiri ile eşlenebilir. Örneğin 1 ile 2; 2 ile 4; 3 ile 6; 4 ile 8 gibi. Benzer bir eşleme, gerçel sayılarla doğal (ya da rasyonel) sayılar arasında yapılamıyor (bkz Cantor ıspatı) Bu da reel sayıların başka bir sonsuz olduğunu akıllara getiriyor.

Click the image to open in full size.

Sözü geçen hiyerarşide doğal sayılar ilk sonsuzluk ve reel sayılar da ikinci sonsuzluk olarak yerini alıyor. Bu sonsuzluklar İbranice olan Alef (Click the image to open in full size.) harfi ile ifade edilir. Doğal sayılar Click the image to open in full size.0 iken gerçel sayılar Click the image to open in full size.1dir. Burada akla gelen soru şudur: Sonsuz sayıda eleman içeren bir küme var mıdır ki eleman sayısı (kardinalitesi) Click the image to open in full size.0dan büyük, Click the image to open in full size.1 den küçük olsun. Süreklilik Hipotezi böyle bir kümenin varolmadığını söyler. 1963'de matematikçi Paul Cohen'in hem bu ifadenin hem de tersinin küme kuramı aksiyomları ile tutarlı olduğunu ispatlaması şu anlama geldi: bu ifade, küme kuramı yazılırken başta doğru ya da yanlışlığı tartışılmadan kabul edilen ifadeler yani aksiyomlar gibidir. Varlığı mevcut aksiyomlar ya da onlardan çıkan teoremler kullanılarak ispatlanamaz!

Fermat'ın Son Teoremi
Fermat gerçekte bir avukattı ama matematiğe müthiş bir ilgisi vardı. Matematik dünyasında adı amatör matematikçi olarak anılır. Amatör sözcüğü basite alınmasın, günümüzdeki pek çok sayı kuramcı, onun kendisinden iyi olduğunu itiraf eder. Fermat, üzerinde çalıştığı kitap olan, Diaphontus'un Aritmetika'sının kenarına pek çok not almış ve teorem ispatlamıştı. Hatta öyle ki, ondan sonra kitap, bu yeni bilgiler eklenerek basılmıştı. Bu notlardan birinin, matematik dünyasının 350 yıl kadar gündeminde kalacağını kim bilebilirdi?
Fermat'ın Son Teoremi:
xn + yn = zn ifadesindeki (x,y,z) üçlüsünün n > 2 ve
n Click the image to open in full size.N olarak tanımlanan hiçbir n için
(önemsiz) tam sayı çözümü yoktur.
Teoremdeki önemsiz sözcüğü ilginizi çekebilir. Örneğin (0,0,0); (1,0,1) ya da (0,1,1) bu ifade için 3 farklı çözümdür ama Fermat bu tarz basit çözümlerle ilgilenmiyor.
Fermat bu hipotezin altına bir de not iliştirmiş:
"Çok güzel bir ispat buldum ama buraya yazmak için yeterli yer yok!"
Yine az öncekilere benzer bir durumla karşı karşıyayız. Elimizde sonsuz tane denklem var, deniyoruz ama bir türlü ifadeyi sağlayan (x,y,z) üçlüsü bulamıyoruz. Öyleyse gerçekten Fermat doğru söylüyor, deyip son noktayı koyamıyoruz. Bu çözümsüzlüğün ispatlanması gerekir. Tarihsel sıralamada önce belli değerler için ifadenin doğruluğu ispatlanıyor. n=3,4,5.İspatın her doğal sayı için doğruluğu ancak Fermat'ın ölümünden 328 yıl sonra, 1993'te İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından yapılabildi. İspat üzerinde çalışmaya10 yaşında başlayan bu matematik aşığı insan olmasa, belki hipotez, bugün hala bir çözüm bekleyenler arasında olacaktı!
kaynak Tubitak
__________________




Besiktas JK






.
OnuR Ofline   Alıntı ile Cevapla
Alt 27-10-2006, 23:05   #2
Yardımcı Admin
 
Meric - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 

teşekkürlerr
Meric Ofline   Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Bu konuyu arkadaşlarınızla paylaşın


Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)
 
Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Açık
Smileler Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-KodlarıKapalı
Trackbacks are Açık
Pingbacks are Açık
Refbacks are Açık




Türkiye`de Saat: 17:46 .

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2008, Jelsoft Enterprises Ltd.
SEO by vBSEO 3.3.2

Sitemiz CSS Standartlarına uygundur. Sitemiz XHTML Standartlarına uygundur

Oracle DBA | Kadife | Oracle Danışmanlık



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580