Trigonometri

TRİGONOMETRİ

Yönlü Açı :
Saat yelkovanının dönme yönünün tersine pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif yön denir.

Açı Ölçü Birimleri :
Derece : Bir çemberin 360 da 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir.
1 derece 60 dakikadır. 1 dakika 60 saniyedir.
1o = 60¢ , 1¢= 60¢¢
Radyan : Bir çemberin, yarıçapının uzunluğundaki yayı gören merkez açı 1 radyandır.
Grad : Bir çemberin 400 de 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 grattır.

Esas Ölçü :
Derece cinsinden bir açının 360o ye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçü, radyan cinsinden bir açının 2p ye bölümünden kalan, radyan cinsinden esas ölçü adını alır.

Trigonometrik Fonksiyonlar :
Açının sinüsü ve kosinüsü:
Birim çember üzerinde, AOP açısını gözönüne alalım. P noktasının apsisine açının kosinüsü, ordinatına da açının sinüsü denir.
x0 = cosa , y0 = sina
Sonuç :
1. P noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olduğu için;
-1 £ cosa£ 1 veya cos : R ® [-1,1] dir.

Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. Aynı şekilde;

-1 £ sina£ 1 veya sin : R ® [-1,1] dir.

Yani sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir.
2. x0 = cosa ve y0 = sina olduğuna göre; cos2a + sin2a= 1 dir.

Açının tanjantı ve kotanjantı :
Birim çemberin A noktasındaki teğetini inceleyelim. Bu durumda t bir reel sayı olmak üzere, T(1,t) noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına AOT açısının tanjantı denir. t = tana dir.
Sonuç :
T(1,t) noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, t herhangi bir nokta olabilir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (p/2 +kp) hariç bütün gerçek sayılar, görüntü kümesi R dir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (kp) hariç bütün gerçek sayılar, görüntü kümesi R dir.
BİRİM ÇEMBER :

Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.

-1 Cos1
-1 Sin1
OAP üçgeninde ; Cos= |OA| = Cos (+k2) ve Sin= |AP| =|OB|= Sin (+k2)
x ekseni, Cosinüs ekseniy ekseni , Sinüs eksenidir.
Analitik düzlemde trigonometrik fonksiyonların işaretleri

Periyodik Fonksiyonlar :
¦:A®B bir fonksiyon olsun. "x ÎA için ¦(x+T) =¦(x) eşitliğini sağlayan bir T gerçek sayısı varsa, ¦ fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T gerçek sayısına da ¦’ nin bir periyodu denir. T gerçek sayısının en küçüğüne ise esas periyodu denir. Buradan hareketle;
k Î Z olmak üzere "aÎ IR için;
cos(a + k.2p) = cosa ve sin(a + k.2p) = sina olduğundan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu k.2p ve esas periyodu 2p dir.
Aynı şekilde;
k Î Z olmak üzere a¹p/2 +kp ve aÎ IR için tan(a + k.p) = tana
k Î Z olmak üzere a¹kp ve aÎ IR için cot(a + k.p) = cota olduğundan tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu k.p ve esas periyodu p dir.

*** ve
m tek ise m çift ise
*** ve ,
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar:
ABC dik üçgeninde trigonometrik oranlar
Cos= = Sin Sin= = Cos
Tan= = Cot Cot= = Tan

30o , 45o , 60o nin trigonometrik oranları
ABC eşkenar üçgeninde; IABI=2br. , [AH] yükseklik olmak üzere ;
AHC üçgeninde;
Cos60o = = Sin30o
Sin60o = = Cos30o
Tan60o = = Cot30o
Cot60o = = =Tan30o

ABC ikizkenar dik üçgeninde ;
Sin45o =Cos45o = =
Tan45o = Cot45o = 1

açı

sin

cos

tan

cot

TRİGONOMETRİK FORMÜLLER

Trigonometrik bağıntılar
1) Cos2+Sin2= 1
2) Tan=
3) Cot=
4) TanCot= 1
Trigonometrik özdeşlikler
Sin(–) = Cos Sin(+ ) = Cos
Cos(–) = Sin Cos(+ ) = -Sin
Tan(–) = Cot Tan(+ ) = -Cot
Cot(–) = Tan Cot(+ ) = -Tan
Sin(–) = -Cos Sin(+ ) = -Cos
Cos(–) = -Sin Cos(+ ) = Sin
Tan(–) = Cot Tan(+ ) = -Cot
Cot(–) = Tan Cot(+ ) = -Tan
Sin( – ) = Sin Sin(+ ) = -Sin
Cos( – ) = -Cos Cos(+ ) = -Cos
Tan( – ) = -Tan Tan(+ ) = Tan
Cot( – ) = -Cot Cot(+ ) = Cot
Sin( 2– ) = Sin(-) = -Sin
Cos( 2– ) = Cos(-) =Cos
Tan( 2– ) = Tan(-) = -Tan
Cot( 2– ) = Cot(-) = -Cot
Cos, Sinüs ve Tanjant teoremleri
de :
Cosinüs teoremi : a2 = b2 + c2 -2bcCosA Sinüs teoremi : = =

Tanjant teoremi : dir.
A( ) = .a.b.SinC
A( ) = u.r (a+b+c=2u olmak üzere)
A( ) =

Trigonometrik fonksiyonlarin birbiri cinsinden ifadesi :
Cos x, Tan x ve Cot x in, Sin x cinsinden ifadesi :

Sin x, Tan x ve Cot x in, Cos x cinsinden ifadesi :

Sin x, Cos x ve Cot x in, Tan x cinsinden ifadesi :

Sin x, Cos x ve Tan x in, Cot x cinsinden ifadesi :

Toplam fark formülleri
1) Sin(+) = SinCos± SinCos2) Cos(+) = CosCos± SinSin3) Tan(+) =
Yarım açı formülleri
1) Sin2= 2SinCos2) Cos2= Cos2– Sin2= 2Cos2– 1 = 1 – 2Sin23) Tan2=