Kutupsal Denklemler

Kutupsal denklemler

Kutupsal koordinatlar ile ifade edilmiş bir eğri denklemi "kutupsal denklem" olarak bilinir ve genellikle r, θ'nın bir fonksiyonu olarak yazılır.
Kutupsal denklemler değişik simetri ("Simetri" sayfasını değiştirmektesiniz – Vikipedi) biçimleri gösterebilir. Bir eğri,
eğer r(−θ) = r(θ) ise 0°/180° yatay ışınına göre,
eğer r(π−θ) = r(θ) ise 90°/270° dikey ışınına göre ve
eğer r(θ−α) = r(θ) ise saat yönünün tersinde, rotasyonel (dönel) olarak kutup noktasına göre α° kadar simetrik olacaktır.[11] (Kutupsal koordinat sistemi – Vikipedi (Resim:Circle r=1.PNG – Vikipedi) http://tr.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png (Resim:Circle r=1.PNG – Vikipedi)
r(θ) = 1 denklemi ile verilmiş çember

Çember

Merkezi (r0, φ) noktasında ve yarıçapı a olan herhangi bir çemberin (Çember – Vikipedi) genel denklemi şu şekildedir:
http://upload.wikimedia.org/math/5/5/d/55d4adcc32d4134dd9046281935fe4e6.png Bu denklem özel durumlar için çeşitli yollarla basitleştirilebilir. Örneğin
http://upload.wikimedia.org/math/1/8/8/1883adf1e8c507ae499dc2a7853f47db.png , merkezi kutup noktasında ve yarıçapı a olan çember için yazılmış denklemdir.[12] (Kutupsal koordinat sistemi – Vikipedi)

Doğru

Kutuptan geçen ışınsal doğrular şu denklemle gösterilir:
http://upload.wikimedia.org/math/7/4/b/74be14dd87d96f9c75bc4a7e6f537c10.png Burada φ, doğrunun eğim açısıdır ve m'nin Kartezyen koordinat sistemindeki eğimi temsil ettiği
http://upload.wikimedia.org/math/9/3/1/9315fc5506f8253376ab2e1fdb4deb0e.png denklemi ile de ifade edilebilir.
Kutup noktasından geçmeyen herhangi bir doğru, ışınsal bir doğruya diktir.[13] (Kutupsal koordinat sistemi – Vikipedi) θ = φ doğrusunu (r0, φ) noktasında dik kesen doğrunun denklemi ise şöyledir:
http://upload.wikimedia.org/math/7/d/2/7d251b2405680afab1429295e4310f29.png. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8e/Rose_r%3D2sin%284theta%29.PNG/150px-Rose_r%3D2sin%284theta%29.PNG (Resim:Rose r=2sin(4theta).PNG – Vikipedi) http://tr.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png (Resim:Rose r=2sin(4theta).PNG – Vikipedi)
r(θ) = 2 sin 4θ denklemi ile verilmiş kutupsal gül şekli.

Kutupsal gül

Kutupsal gül ("Gül (matematik)" sayfasını değiştirmektesiniz – Vikipedi), taç yapraklı bir çiçeği andıran ve sadece kutupsal bir denklem ile ifade edilebilen ünlü bir matematiksel eğridir. Şu denklemlerle tanımlanır:
http://upload.wikimedia.org/math/0/1/a/01a86c8dcab3cf799c29392d715264f3.png VEYAhttp://upload.wikimedia.org/math/e/a/5/ea5cf3a664ceb7d3558a23f65953adfc.png . a değişkeninin gülün yapraklarının uzunluğunu ifade ettiği bu denklemlerde eğer k bir tamsayı ise, k tek sayı olduğunda bu denklemler ile k-yapraklı bir gül ve çift sayı olduğundaysa 2k-yapraklı bir gül elde edilir. Eğer k tam sayı değilse, yaprak (Yaprak – Vikipedi) sayısı da tamsayı olmayacağı için, bir daire (Daire – Vikipedi) şekli oluşur. Dikkat edilmesi gereken nokta, bu denklemlerle 4'ün katlarının 2 fazlası (2, 6, 10, 14, …) kadar sayıda taç yaprak elde etmenin mümkün olmadığıdır.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Archimedian_spiral.PNG/150px-Archimedian_spiral.PNG (Resim:Archimedian spiral.PNG – Vikipedi) http://tr.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png (Resim:Archimedian spiral.PNG – Vikipedi)
0 < θ < 6π için r(θ) = θ denklemi ile verilmiş Arşimet spiralinin bir kolu.

Arşimet spirali

Arşimet spirali ("Arşimet spirali" sayfasını değiştirmektesiniz – Vikipedi), Arşimet (Arşimet – Vikipedi) tarafından keşfedilmiş ve gene yalnızca bir kutupsal denklem ile tanımlanabilen, ünlü bir spiraldir ("Spiral" sayfasını değiştirmektesiniz – Vikipedi). Şu denklemle ifade edilir:
http://upload.wikimedia.org/math/b/7/a/b7ac6c6850cb64246ff3f848540602d9.png . a değişkeninin değişimi spirali döndürürken, b değişkeni spiralin kolları arasındaki daima sabit olan uzaklığı kontrol eder. Arşimet spirali, θ > 0 ve θ < 0 değerleri için iki kola sahiptir. İki kol kutup noktasında birbirine düzgün biçimde bağlanır. Kollardan birinin 90°/270° doğrusu üzerinden ayna simetrisi alınırsa, diğer kol elde edilir.

Konik kesitler

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Elps-slr.png/250px-Elps-slr.png (Resim:Elps-slr.png – Vikipedi) http://tr.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png (Resim:Elps-slr.png – Vikipedi)
Semi-latus rectum mesafesinin gösterildiği bir elips

Büyük ekseni kutupsal eksen (0° ışını) üzerinde, bir odağı kutup noktasında ve diğer odağı da kutupsal eksen üzerindeki başka bir noktada bulunan bir konik kesit (Konikler – Vikipedi) şu kutupsal denklem ile tanımlanır:
http://upload.wikimedia.org/math/2/9/4/2947d77045fb599e18dc4bf5ec04666f.png . Burada e eksantriklik (Eksantriklik – Vikipedi) ve l de (semi-latus rectum) büyük eksene dik olarak bir odaktan eğriye kadar ölçülen uzaklıktır. Denklem; e >; 1 ise bir hiperbol ("Hiperbol" sayfasını değiştirmektesiniz – Vikipedi), e = 1 ise bir parabol (Parabol – Vikipedi) ve e < 1 ise bir elips (Elips – Vikipedi) oluşturur. e < 1 koşulunun özel bir durumu olarak e = 0 ise, yarıçapı l olan bir çember elde edilir.

Diğer eğriler

Kutupsal koordinat sisteminin dairesel özelliği, birçok eğrinin Kartezyen biçimdense kutupsal bir denklemle çok daha kolay tanımlanmasını sağlar. Bu eğrilerin arasında lemniskatlar ("Lemniskat" sayfasını değiştirmektesiniz – Vikipedi), ilmek eğrileri (limaçonlar) ("İlmek eğri" sayfasını değiştirmektesiniz – Vikipedi) ve özel bir tip limaçon olan kardiyoidler ("Kardiyoid" sayfasını değiştirmektesiniz – Vikipedi) vardır