[NuraN]

1) Gezegenin hareketi sırasında yörüngesi üzerinde katettiği yoldan, herhangi bir andaki hızını bulmak,

2) Gezegenin hızından, herhangi bir anda yörüngesinin neresinde bulunacağını hesap etmekti.

Bu problemlerin çözümüne hazırlık olarak Newton, y = x2 denkleminde herhangi bir andaki yolu y, ve düzgün bir dx hızı ile alınan başka bir andaki yolu da x ile göstererek, 2xdx'in aynı anda y yolunu alan hızı temsil edeceğini söylemiştir.

Newton, diferansiyel-integral hesabı bulduğunu 1669 yılına kadar kimseye haber vermemiş ve ancak 42 yıl sonra yayınlamıştır. Bundan dolayı da Leibniz ile aralarında öncelik problemi söz konusu olmuştur. Leibniz, Newton'dan daha iyi bir notasyon kullanmış, x ve y gibi iki değişkenin mümkün olan en küçük değişimlerini dx ve dy olarak göstermiştir. 1684 yılında yayımladığı kitabında dxy= xdy+ ydx, dxn= nxn-1, ve d(x/y)=(ydx-xdy)/y2 formüllerini vermiştir.
Newton matematiğin başka alanlarına da katkıda bulunmuştur. Binom ifadelerinin tam sayılı kuvvetlerinin açılımı çok uzun zamandan beri biliniyordu. Pascal, katsayıların birbirini izleme kuralını bulmuştu; ancak kesirli kuvvetler için binom açılımı henüz yapılmamıştı. Newton (x-x2)1/2 ve (1-x2)1/2 açılımlarını sonsuz diziler yardımıyla vermiştir.

Principia'da Newton, Galilei ile önemli değişime uğrayan hareket problemini yeniden ele alır. Uzun yıllar Aristoteles'in görüşlerinin etkisinde kalmış olan bu problemi Galilei, eylemsizlik ilkesiyle kökten değiştirmiş ve artık cisimlerin hareketinin açıklanması problem olmaktan çıkmıştı. Ancak, problemin gök mekaniğini ilgilendiren boyutu hâlâ tam olarak açıklanamamıştı. Galilei'nin getirdiği eylemsizlik problemine göre dışarıdan bir etki olmadığı sürece cisim durumunu koruyacak ve eğer hareket halindeyse düzgün hızla bir doğru boyunca hareketini sürdürecektir. Aynı kural gezegenler için de geçerlidir. Ancak gezegenler doğrusal değil, dairesel hareket yapmaktadırlar. O zaman bir problem ortaya çıkmaktadır. Niçin gezegenler Güneş'in çevresinde dolanırlar da uzaklaşıp gitmezler?

Newton bu sorunun yanıtını, Platon'dan beri bilinmekte olan ve miktarını Galilei'nin ölçtüğü gravitasyonda bulur. Ona göre, Yer'in çevresinde dolanan Ay'ı yörüngesinde tutan kuvvet yeryüzünde bir taşın düşmesine neden olan kuvvettir. Daha sonra Ay'ın hareketini mermi yoluna benzeterek bu olayı açıklamaya çalışan Newton, şöyle bir varsayım oluşturur: