[Meric]

Buchstabenausdrücke


1. Buchstabenausdrücke

Man Nennt Ausdrücke Die Wie; 2a, 2b, 32, 4x2, 2/3m3 Aussehen, Buchsta Benausdrücke.

5 M3
 Malzahl
 Buchstabenausdrücke


Beispiele :

• A = 1 
 Sind, Was Ist Dann Der Wort Von A2b - B2 ?
B = -1 

= 1.(-1) - (-1)2 . 1

= -1 -1 = 2

• Was Ist Die Malzahlen Addition Von 3x2 - 2x + 1 ?
3-2+1=4-2=2
Mann Nennt Steller In Buchstabenausdrücken, Die Mit + Oder - Getrannt Sind, Termen.
Wenn Die Buchstaben Und Starken Von Buchstabenausdrücken Gleich Sind Dann Nennt Man Sie Ahnliche Termen.
2. Die Addition Und Subtration Bei Den Buchstabenausdrücken

Bei Der Berechnung Von Buchstabenausdrücken Werden, Die Starken Von Ahnlicken Termen Addiest. Die Dann Entstehende Addition, Wird Als Malzahl Bei Buchstabenausdrücken Geschrieben.

Beispiele

• 3b + 2b + B = ?
• 3b + 2b + B = (3 + 2 + 1) B
= 6 B
• 6xy - 4xy = (6 -4) .xy = 2 Xy
• -7ax + 3x3 + 5ax - 2x3 + 6x3 = (-7 + 5) Ax + (3 - 2 + 6) X3
= -2ax + 7x3

• 5x + Ay2 - 3x + 2ay2 - 5ay2
= (5x - 3x ) + (ay2 + 2ay2 - 5ay2)
= (5 - 3) . X + (1 + 2 - 5) Ay2
= 2x - 2ay2
• 4x2y +x2y - 5x2y
= (4 + 3 - 5). X2y
= 2x2y

3. Die Multiplizion Und Division Bei Buchstabenausdrücken

Multıplızıon: Malzahlen Werden Multipliziert Und Als Malzahl Geschrieben. Die Exponenten Von Gleichen Buchstaben Werden Addiert Und Auf Den Gleichen Buchstaben Als Exponent Geschrieben.


Beispiele

• 2' . 2' . 2' . 2' = 2 1+1+1+1 = 24
X2 . X2 . X2 = X2+2+2 = X6
• 2xy2 . 3xm = ?
= 2.3x1+1 Y2m
= 6x2 Y2m
• 3a (a2 - 2b) = ?
= 3a (a2 - 2b) = 3a . A2 - 3a . 2b
= 3a3 - 6ab

Dıvısıon : Malzahlen Werden Dividiert Und Als Malzahl Geschrieben. Die Exponenten Von Gleichen Buchstaben Werden Subtraniert Und Als Exponent Geschrieben. Die Ungleichen Buchstaben Werden Genauso Geschrieben.

Beispiele





= 3.a2.b-1.co = 3a2.b-1.1

= 3. A2/b





4. Deklination Des Binom

Denker Wir Und Ein Dreieck Die An Den Seiten Einser Hat. Die Kleinste Dreieck Davon Ist In Form Von 1

1 1 .


1
1 1 Mit Dieser Methode Erhalten Wir Ein Zweites Dreieck.
1 2 1



Wenn Wir Ahnlich Weitergehen Können Wir Beliebig Groe Dreiecke Erhalten. Dreiecke Die Wir So Erhalten Nennen Wir Arithmetische Dreieck Oder.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1


A =  Ist, Ist Die Anzahl Von Die Hinterste Menge 1.
Wenn B = {} Ist, Ist Die Anzahl Von Die Hinterste Menge 1,1.
C = {} Ist, Ist Die Anzahl Von Die Hinterste Menge 1,2,1.

Die Hinterste Menge Von C Reine Ist, Ist Die Menge Von 1 Leere Menge, 2 Und 1 Element Menge, Und 1 Sich Gleichwertiger (mit 2 Elementen) Menge.
Jede Menge Hat Eine Leere Hinterste Menge Und Eine Sich Gleichwertige Hinterste Menge. Jede Zeile Fängt Mit 1 Und Endet Auch Mit 1.

Die Malzahlen, Die Bei (a + B)n, Den N Gegeben Ist;

N=0 Ist (a+b)o 1
N=1 Ist (a+b)1 1 1
N=2 Ist (a+b)2 1 2 1
N=3 Ist (a+b)3 1 3 3 1
N=4 Ist (a+b)4 1 4 6 4 1
N=5 Ist (a+b)5 1 5 10 10 5 1

Beispiele

• (x + Y)3 = ?
= (x + Y) . (x + Y)2
= (x +y) . (x2 + 2xy + Y2)
= X3 + 2x2y + Xy2 + X2y + 2xy2 +y3
= X3 + 3x2y + 3xy2 + Y3
• (x -2y )= ?
= X3 - 3x2 (2y) + 3x (2y)2 - (2y)3
= X3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3


5. Einzigartigkerten

Es Sind Gleichlungen, In Den Sich Buchstaben Befinden, Und Diese Buchstaben Für Alle Reale Zahlen Gelten.

Beispiele
• (a + B)2 = A2 + 2ab + B2
• (a + 1)2 = A2 + 2a + 1 = ?
A = 2
(a + 1)2 = A2 + 2a +1
(2 + 1)2 = 22 + 2.2 + 1
3 2 = 4 + 4 + 1
9 = 9
A = - 3
(a + 1)2 = A2 + 2a +1
(-3 + 1)2 = (-3)2 + 2. (-3) + 1
(-2)2 = 9 - 6 + 1
4 = 4
(a + 1)2 = A2 + 2a + 1


A) Der Unterschied Der Zwei Quadraten

Die Multiplizion Von Der Addition Und Subtrahition Ist Dem Subtrahition Des Quadrat Vom Ersten Term Und Dem Quadrot Vom Zweiten Term Gleich.

Beispiele
• (a + B) . (a - B) = ? A2 - B2 = (a - B) . (a + B)
= (a + B) . (a - B)
= A2 - Ab + Ab - B2
= A2 - B2
• (2 + Y) . (2 - Y) = ?
= 22 - Y2
= 4 - Y2
B) Das Ganze Quadrat Ausdrücke

Der Quadrat Vom Addition Oder Subtrahition Von Zwei Termen, Ist Der Addition Von Quadrat Des Ersten Terms, Den 2 Fach Multiplition Vom Ersten Un Dem Zweiten Term Und Den Quadrat Vom Dritten Term Gleich.

Beispiele
• (a + B)2 = ? A2 + B2 = (a + B)2 - 2ab
= (a + B) . (a + B) A2 + B2 = (a - B)2 + 2ab
= A2 + Ab + Ba + B2
= A2 + 2ab + B2
• (a - B)2 = ?
= (a - B) . (a - B)
= A2 - Ab - Ba +b2
= A2 - 2ab + B2


6. Die Schlagenden Sich Trennen

Es Ist Die Screibweise , Wie Man Einen Ausdruck Mit 2 Oder Mehreren Schreibt.


A) Die Sclagenden Nehmen Des Anteilhaber Den Klamer

Bei Die Sclagenden Nehmen Des Anteilhaber Den Klamer Nimmt Man Der Anzahl's A.g.a.t (e.b.o.b) Den Jedem Term Oder Man Nimmt Bei Jedem Term Den Gleichen Schlagenden Klammer.

Ax3 - Bx2 + Cx = X (ax2 - Bx + C)

Beispiele:
• X3y3 + 2x3y2 - 5x2y = X2y (xy2 + 2xy - 5)
• A (a +1) - A - 1 = ?
= A (a + 1) - (a + 1)
= (a + 1) . (a - 1)  -a - 1 = - (a + 1)


B) Die Schlagenden Sich Trennen Mit Gruppierung

Die Termen Vom Gegebenen Termen Werden In Gruppen Verteilt, Und Wem Versucht Einen Gemeinsamen Das Schlagend Zu Finden.

Beispiele
• Ax + Bx + Ay + By = (ax + Bx) + (ay + By)
= X (a + B) + Y (a + B)
= (a + B) . (x + Y)
• X2 - Ax + 2x - 2a = (x2 - Ax) + (2x - 2a)
= X (x - A) + 2 (x - A)
= (x - A) . (x + 2)


C) Der Unterschied Der Zwei Quadratan Trennen Sich Die Schlagenden

A2 - B2 = (a -b) . (a + B)

Wir Werden Diesen Einzigartigkeit Bei Die Schlagenden Sich Trennen Von Dem Unterschied Der Zwei Quadraten Benutzen. Dieses Einzigartigkeit Können Wir So Formalieren. Man Findet Das Quadratwurzel Von A2 Und B2 Vom Gegebenen A2 - B2 Ausdruck. Zwischen Den Gefundenen Termen Setz Vom Entweder (+) Oder (-).

Beispiele
• 4x2 - 9 = (2x - 3) . (2x + 3)
• 3x2 - 27 = 3 (x2 - 9) = 3 (x - 3) . (x + 3)
• 1 - (x + 1)2 = [1 - (x + 1) ] [1 + (x + 1)]
= (1 - X - 1) (1 + X + 1)
= (-x) . (2 + X)


D) Das Ganze Quadrat Ausdrücke Trennen Sich Die Schlagenden

(a + B)2 = A2 + 2ab + B2
(a + B)2 = A2 - 2ab + B2

Bei Ausdrücken Das Ganze Quadrat Ausdrücke Sind, Findet Man Den Dritten Term In Dem Quadratwurzel Von Beiden Termen Mit Zwei Multipliziert.

Beispiele
• X2 - 6x + 9 = (x - 3)2
 
X - 3 = (x - 3) . (x - 3)
• A5 - 2a4 + A3 = A3 (a2 - 2a + 1)
 
A - 1
= A3. (a -1)2
= A3 . (a - 1) . (a -1)
• (x + 1)2 - 4(x + 1) + 4 = [(x + 1) - 2]2
  = (x - 1)2
(x + 1) - 2 = (x - 1) . (x - 1)


E) X2 + Bx + C Drei Termen Trennen Sich Die Schlagenden

Den X2 + Bx + C Drei Termigen In Die Schlagenden Trennen Sich. Man Sucht Zwei Zahlen, Wenn Man Einen X2 + Bx + C Drei Termigen Auseinander Nimmt, Dessen Multiplition C (feste Term), Addition B (x' S Malzahl) Sind.

Beispiele
• X2 + 5x + 6 = ?
2 . 3 = 6
2 + 3 = 5
X2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

X X +2 +3

• X2 - 7x + 12 =
(-3) . (-4) = + 12
(-3) + (-4) = - 7
X2 - 7x + 12 = (x - 3) (x - 4)

X X -3 -4

• Y2 + 2y - 15 = ?
(+5) . (-3) = -15
(+5) + (-3) = + 2
Y2 + 2y - 15 = (y + 5) (y - 3)

Y Y +5 -3


7. Vom Erste Skala Ein Unwissende Gleichung

Man Nennt Gleichung In Denen Unwissende Gibt Und Gleichungen Die Für Besondere Warte Gebildet, Sind Gleichung.
Vom Erste Skala Ein Unwissende Gleichung Sind A, Br Und A  0 Kurzgefest Ax + B = 0.

Beispiele
• 3x + 1 = 5
• 2x - 3 = 0
• 5x - 4 = 2x + 5


8. Vom Ersten Skala Zwei Unwissende Gleichungen

Es Zeigt In Dem Fall Das A, B, C Reale Zahlen Sind, Im Koordinaten System Einen Geraden In Form Von Ax + By + C = 0

A1x + B1y + C1 = 0 
 Gleichung System
A2x+b2y + C2 = 0 

Man Nennt Vom Erstem Skala Zwei Unwissende Gleichungen. Z.. (0, 3), (1, 1), (3, -3), ........ . Desugen Sagt Man Das Gleichung's In Form Von 2x + Y = 3 Haben Unendliche Lösungen.


9. Die Lösungmethoden Bei Zwei Unwissende Gleichungen System

A) Vergleichungs Methode
Man Last Den Gleichung System, In Dem X's Und Y's Gebunden Mit Anderen Unwissenden Findet Und Sie Vergleicht.

B) Ersetzungs Methode
Man Schreibt Einen Unwissenden In Der Art Von Anderen Bei Gegebenen Gleichung Sytem . Dann Löst Man Es In Dem Man Diesen Ausdruck In Den Man Den Anderen Ersetzt.

C) Vernichtung Methode
1. Der Malzahl Von Einem Unwissenden Werden Gegleicht (dabei Ist Es Besser Den Vernichtung Unwissenden Zu Nehmen).
2. Das Zeichen Von Gleich Die Malzahlen Unwissenden Werden Je Nach Addddierung Umgedreht.
3. Man Löst Das Gleichung System In Den Man Von Der Seite Zu Der Seite Adddiert Und Dabei Die Gleiche Malzahlen Oder Umgedrehten Ausdrücke Verschwinden Lassen .
4. Man Geht Zum Lösung, In Dem Man Den Went Den Unwiss Enden In Ein Gleichung Den Gleichlung System Schreibt.



Beispiele
• X + 2y = 6 
 X = ?
X - Y = 3 
X + 2y = 6  X = 6 -2y
X - Y = 3  X = 3 + Y
6 - 2y = 3 + Y
X = 3 + Y
= 3 + 1 X = 4
• X - 5 = 2y
2x +11 = - 3y

X - 5 = 2y  X - 2y = 5
2x +11 = -3y  2x + 3y = -11

-2/x - 2y = 5
/2x + 3y = -11
________________
-2x + 4y = -10
2x + 3y = - 11
+_______________
7y = -21  Y = -3

X - 2y = 5
X - 2 (-3) = 5  X + 6 = 5
X = -1
ç = {(-1, -3)}


• Y = Ax + B X = 2, Y = 4 Und X = 8, Y = -2
A . B = ?

-1/2a + B = 4
8a + B = -2
_____________
-2a - B = - 4
8a + B = -2
+___________
6a = -6
A = -1
2a + B = 4
2 . (-1) + B = 4 -2 + B = 4  B = 6
A . B = (-1) . 6 = - 6