[Meric]

DİK PRİZMALAR


1.Dik Prizmalar ve Özellikleri

Tabanları herhangi bir çok gensel bölge olan yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerden meydana gelen cisimlere dik prizma denir.
Prizmalar tabanlarına gore dikdörtgenler prizması,kare dik prizma,üçgen dik prizma,yamuk dik prizma diye adlandırılırlar.

Dik Prizmanın özellikleri:


1.Tabanları eş ve paraleldir.
2.Yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerdir.
3.Her bir köşede kesişen ayrıtları birbirine diktir.
4.Yan ayrıtları aynı zamanda yüksekliktir.
5.Tabanları düzgün çokgensel olan dik prizmalara düzgün dik prizma denir.

2.Dik Prizmanın alanlarını ve hacimlerini hesaplama

2.1.Dikdörtgenler prizması

Tanım: Tabanları dikdörtgensel bölge olan dikprizmaya dikdörtgenler prizması denir.


Özellikleri:

1. 6 yüzü 12 ayrıtı ve 8 köşesi vardır.
2. Karşılıklı yüzleri birbirine parallel ve alanları eşittir.
3. Karşılıklı ayrıtları dörder dörder parallel ve uzunlukları eşittir.
4. Bir köşeden çıkan ayrıtlara prizmanın boyuları denir.Bu boyutlar en boy ve yüksekliktir.
5. Bir yüze ait karşılıklı iki köşeyi birleştiren doğru parçasına yüz köşegeni denir.
6. Aynı yüze ait olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.

Dikdörtgenler Prizmasının Alanı:


Taban alanı, Ta=a.b
Yanal alanı:Ya=Ç.h=2(a+b).c

Not: Dikdörtgenler prizmasının yanal alanı,taban çevresinin uzunluğu ile yan ayrıtının çarpımına eşittir.

Bütün alan: A=2.Ta+Ya , A=2(a.b)+2(a+b).c
A=2(ab+ac+bc) olarak yazılır
.
Not: Dikdörtgenler prizmasının alanı,bir köşeden çıkan üç ayrıtının ikişer ikişer çarpımlarının toplamlarının iki katına eşittir.





Dikdörtgen Prizmasının Hacmi


Bütün dik prizmalarda hacim, taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımına eşittir.
V=Ta.h=(a.b).c V=a.b.c


2.2.Kare Dik Prizma

Tanım: Tabanları karesel bölge olan dik prizmaya kare dik prizma denir.

Özellikleri


1.Dikdörtgenler prizmasının bütün özelliklerini taşır.
2.Tabana ait yüz köşegenin uzunluğu, e=a.√2
3.Cisim köşegenin uzunluğu, f=√e²

Kare dik prizma alanı


Taban alanı, Ta=a²
Yanal alanı, Ya=4.a.h

Not: Kare dik prizmanın yanal alanı,taban çevresinin uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Bütün alanı, A=2Ta+Ya , A=2a²+4ah

Not: Kare dik prizmanın alanı,bir yan yüzünün alanın 4 katı ile iki taban alanının toplamına eşittir.

Kare dik prizmanın hacmi


V=Ta.h den, V=a².h










2.3. Küp

Tanım: Bütün ayrıtları eş olan dikdörtgenler prizmasına küp denir.

Özellikleri


1.Dikdörtgenler prizmasının tüm özelliklerini taşır.
2.Bütün yüzleri birbirine eş karesel bölgelerdir.
3.Yüz köşegenin uzunluğu e=a√2
4.Cisim köşegeninin uzunluğu f=a√3

Not: Küpün cisim köşegenin uzunluğu,bir ayrıtın uzunluğunun √3 katına eşittir.

Küpün alanı


Taban alanı,Ta=a²
Yanal alanı;Ya=Ç.h , Ya=4.a²

Not: Küpün yanal alanı bir ayrıtının karesinin 4 katına eşittir.

Bütün alan,A=6.a² Küpün bütün alanı bir ayrıtının karesinin 6 katına eşittir.




Küpün hacmi


V=Ta.h , V=a².a , V=a³
Küpün hacmi,bir ayrıtının küpüne eşittir.


2.4.Üçgen Dik Prizma

Tanım: Tabansal üçgensel bölge olan dik prizmaya,üçgen dik prizma denir.

Özellikleri


1.Tabanları birbirine eş üçgensel bölgelerdir.
2.Yan yüzleri birer dikdörtgensel bölgedir.
3.Yanal ayrıtları eş ve birbirine paraleldir.Yanal ayrıtlarının her biri prizmanın yüksekliği olur.
4.6 köşesi,9 ayrıtı ve 5 yüzü vardır.

Üçgen dik prizmanın alanı

Taban çevresinin uzunluğu Ç=a+b+c olsun.
Tabanların yüksekliği k,prizmanın yüksekliği de h olsun.

Taban alanı,Ta=a.k/2

Yanal alanı,Ya=Ç.h, Ya=(a+b+c).h

Bütün alanı,A=2.Ta+Ya, A=a.k+(a+b+c).h

Not: Uçgen dik prizmanın alanı,taban çevresinin yükseklik ile çarpımının iki taban alanı ile toplamına eşittir.




Üçgen dik prizmanın hacmi


V=Ta.h, V=1/2.a.k.h dir

2.5.Düzgün Altıgen Dik Prizma

Tanım: Tabanları düz olan altıgensel prizmaya düzgün altıgen dik prizma denir.

Özellikleri


1.Tabanları düzgün altıgensel bölgedir ve birbirine eşittir.
2.Yan yüzleri birer dikdörtgensel bölgedir ve birbirine eşittirler.
3.Yanal ayrıtları eş ve birbirine paraleldir.Yanal ayrıtlarının her biri prizmanın yüksekliği olur.
4.12 köşesi,18 ayrıtı ve 8 yüzü vardır.


Düzgün altıgen dik prizmanın alanı

Taban çevresinin uzunluğu Ç=6.a olsun, prizmanın yüksekliği de h olsun.
_
Taban alanı,Ta=3√3.a2

Yanal alanı,Ya=Ç.h, Ya=6.a.h
_
Bütün alanı,A=2.Ta+Ya, A=6√3.a2+6.a.h





Düzgün altıgen dik prizmanın hacmi

_
V=Ta.h, V=3√3.a2.h dir







2.6.Silindir

Tanım: Bir dikdörtgensel bölgenin kenarlarından biri etrafında 360 derece döndürülmesiyle oluşan cisme dik silindir denir.

Dik silindir tabanları daire olan dik prizmadır. Dik silindirin alanı ve hacmi prizmalar gibi hazırlanır.



Dik silindirin alanı:


Taban alanı, Ta=π.r² Yanal alanı, Ya=2 π r h

Bütün alanı, A=2.Ta+Ya=2.π r²+2 π r h

A=2 π r (r+h)

Dik silindirin hacmi:


V=Ta.h , V= π r².h




Şekil-1: Tabanları çeşitli çokgenlerden oluşan prizmaların açık görünüşleri.










Konuyla İlgili Örnekler:


1- Bir düzgün altıgen dik prizmanın taban ayrıtlarının birinin uzunluğu 10 cm ve yüksekliği 8 cmdir.

a. Taban alanı,
_
Ta=(3*√3 )*a2
2 _
Ta=(3*√3)*102
2
_ 50 _
Ta=(3x√3)*100=150√3 cm2
21
b. Yanal alanı,

Ya=6a.h=6.10.8=480cm2

c. Bütün alanı,
_
A=2.Ta.Ya=2.150√3 +480
_ _
A=300*√3 + 480=60(5*√3+8)cm2

d. Hacmi,
_
V=Ta.h=3*√3*a 2*h
2
_ _
V=Ta.h=3*√3*102*8=3*√3*100*8
_2 2
V=1200*√3 cm3

















2.Taban yarıçapı 7 cm yüksekliği 10 cm olan silindirin:

a. Taban alanı,

Ta=π.r 2=22.72=154 cm2
7
b. Yanal alanı,

Ya=2. π.r.h=2.22.7.10=440 cm2
7
c. Bütün alanı,

A=2. π.r.(r+h)=2.22 .7.(7+10)=748 cm2
7
d. Hacmi,

V= π.r2.h=22.7.10=1540 cm3
7



3.Taban ayrıtı 10 cm ve yüksekliği 14 cm olan bir kare dik prizma vardır.

a.Taban alanı

Ta=a2=102
Ta=100cm2

b.Yanal alanı

Ya=4.a.h
Ya=4.10.14=10.56
Ya=560 cm2

c.Bütün alanı

A=2a2+4.ah
A=2.102+4.10.14
A=200+560
A=760 cm2

d.Hacmi

V=a2.h
V=102.14
V=1400 cm3



Bu Konuyla İlgili Fen ve Anadolu Lisesi Soruları


1.Yarıçapı ile yüksekliğinin uzunlukları eşit olan bir silindirin hacmi 81 cm3 tür. Bu silindirin yanal alanı kaç cm2dir.( π =3) (1997 FL)

h=r Hacim= π.r2.h 81=3.r2.r 27=r3 r=3 cm

Yanal alan= 2.π.r.h
=2.3.3.3
=54 cm2 olur

2.Kenar uzunlukları 8 cm ve 6 cm olan bir dikdörtgen 8 cm lik kenarı etrafında 360 derece döndürülüyor.Meydana gelen cismin hacmi kaç cm3 tür?( π =3) (1997 DPY)

silindirin hacmi= πr2h
=3.36.8
=864 cm3 olur.




3.Bır dikdörtgen prizmasının farklı üç yüzününn alanları;16 cm2,25 cm2 ve 36 cm2 ise hacmi kaç cm3 tür?

a.b=16 Taraf tarafa çarpalım.
a.c=25
* b.c=36

a2.b2c2=16.25.36

Hacim=a.b.c olduğundan,
______ _______
√a2b2.c2=√16.25.36 a.b.c=4.5.6=120 cm3

















3.Şekildeki kare dik prizma ile dik silindirin yüksekliklerinin uzunlukları ve yanal alanları birbirine eşittir.Buna göre,prizmanın hacminin silindirin hacmine oranı kaçtır?
4.ah=2. π.r.h a=2. π.r a=π.r sonuç olarak π
4 2 4


4. Yarı çapı r birim olan silindirin hacmi 360 br3 ise,yanal alanı kaç br2 dir?

Hacmi=360r= π r2h
360= π rh

Yanal alan=2πrh
=2.360
=720 br2


5. Tabanının bir kenarı 4 cm,yüksekliği 10 cm olan kare prizma şeklindeki kutu,silindir şeklindeki bir kutu içerisine koyuluyor.Silindir şeklindeki kutunun hacmi en az kaç cm3 olmalıdır?

H= πr2.h__
= π.(2√2 )2.10
=80 π cm3 olur.


6. Bir ayrıtının uzunluğu 8cm olan küpün içine yerleştirilen, en büyük hacimli koninin hacmi kac cm3 tür? (π=3) alınız.

Bir küpün içerisine yerleştirilen en büyük hacimli koninin yüksekliği küpün bir kenarına; koninin yarıçapı ise küpün bir kenarının yarısına eşittir. Buna göre,

Koninin hacmi=⅓.π.r2.h
=⅓.3.42.8
=16.8
=128cm3 olur.