Baginti

[Meric]

BAGINTI
Günlük hayatimizda baginti sözcügünü sikça kullaniriz. Matematikte kartezyen çarpimin alt kümelerine Baginti denir.
Tanim : A ve B herhangi iki küme olsun. AxB ‘ nin her alt kümesine , A’ dan B’ ye bir baginti denir.
UYUMA :
· AxA ‘ nin her alt kümesine A’ dan A’ ya bir baginti ya da A’ da bir baginti denir.
ÖRNEK : AxB = {(1,3), (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } kartezyen çarpiminin 4 tane elemani vardir.
Bu kümenin alt kümeleri sayisi 24 = 16 ‘dir.
O halde A ‘ dan B ‘ ye 16 tane baginti tanimlanabilir.
Örnegin
ß1 = {(1,3), (1,a) } ve ß2 = { (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } alt kümeleri A dan B ye birer bagintidir.
SONUÇ : s(A) = m ve s( = n ise A dan B ye tanimlanabilen baginti sayisi 2m.n tanedir.
ÖRNEKLER
1. Dogal sayilar kümesinde ß = {(x,y)| x + y = 2 } bagintisinin sirali ikililerini yazalim.
ÇÖZÜM : Baginti (x , y ) seklinde olan ve x ile y nin toplami 2 olan sirali ikilileri yazin diyor.
Bunlar: ß = {(0,2), (1,1), (2,0) } olur
2. Dogal sayilar kümesinde ß = {(x,y)| x > y } bagintisinin sirali ikililerini yazalim.
ÇÖZÜM :Baginti (x , y ) seklinde ve x in y den büyük oldugu sirali ikilileri yazin diyor.
Bu sirali ikililerin tümünü yazamayiz.
Bu nedenle ß = {(1,0), (2,0), (3,0),…, (2,1), (3,1), (4,1),…, } seklinde bu bagintinin sirali ikililerini gösterebiliriz.
3. Reel sayilar kümesinde ß = { (x,y) | l x l = 3 ve x+2> y > 0 } bagintisinin gösterdigi alan kaç birim karedir?
ÇÖZÜM : l x l = 3 demek x = ± 3 demektir.
x = 3 ' ü ikinci esitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 , yani 5 > y > 0 olur.
x = – 3 ' ü ikinci esitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 , yani -1> y > -3 olur.
Bölge bir kenari 6 birim olan karedir. Alani 6×6 = 36 olur.
Bagintinin Özellikleri
Yansima Özeligi
TANIM : Her eleman kendisi ile bagintili ise bu bagintiya yansiyan baginti denir. Bu ifadenin matematik dilinde yazilisi söyledir.
ß , A kümesinde tanimli bir baginti olsun. A daki her x elemani için ( x , x ) ? ß olursa ß bagintisi yansiyandir.
ÖRNEK
Insanlar kümesinde ß bagintisi “ esit boylu olma “ bagintisi olsun.
Bu baginti yansiyandir. Çünkü her insan kendisi ile esit boydadir.
ÖRNEK
ß = { (x , y) | y > x , ve x ile y dogal sayi } bagintisi yansiyan olamaz.
Çünkü dogal sayilar kümesinde hiçbir dogal sayi kendisinden büyük olamaz.
Bu bagintinin elemanlarini yazalim. ß = { (1 , 0), (2 , 0), (3 , 0), (4 , 0), (5 , 0),… }
Beta bagintisinda (0 , 0), (1 , 1), (2 , 2), (3 , 3), (4 , 4) seklinde sirali ikililer yoktur.
Beta bagintisi yansiyan degildir.
Simetri Özeligi
TANIM : Tanim kümesinden alinan iki eleman x ve y olsun. x ile y bagintili iken y ile x de bagintili olursa bu bagintiya simetrik baginti denir. Bu ifadenin matematik dilinde yazilisi söyledir.
ß , A kümesinde tanimli bir baginti olsun. A daki her x , y elemani için ( x , y ) ? ß iken ( y , x ) ? ß olursa ß bagintisi simetriktir.
ÖRNEK
Insanlar kümesinde ß bagintisi “ arkadas olma “ bagintisi olsun.
Bu baginti simetriktir. Çünkü x ile y arkadas ise y ile x de arkadastir.
ÖRNEK
ß = { (x , y) | x + y = 3 , ve x ile y dogal sayi } bagintisi simetriktir.
Çünkü dogal sayilar kümesinde x + y = 3 ise y + x = 3 olur.
Bu bagintinin elemanlarini yazalim. ß = { (0 , 3), (3 , 0), (1 , 2), (2 , 1) }
Beta bagintisinda (0 , 0), (1 , 1), (2 , 2), (3 , 3), (4 , 4) seklinde sirali ikililer yoktur.
Beta bagintisi simetriktir ama yansiyan degildir.
Ters Simetri Özeligi
TANIM : Tanim kümesinden alinan iki farkli eleman x ve y olsun. x ile y bagintili iken y ile x de bagintili olmaz ise bu bagintiya ters simetrik baginti denir. Bu ifadenin matematik dilinde yazilisi söyledir.
ß , A kümesinde tanimli bir baginti olsun. A daki her farkli x , y elemani için ( x , y ) ? ß iken ( y , x ) Ï ß olursa ß bagintisi ters simetriktir.
Esit sirali ikililer ters simetrikligi bozmaz.
ÖRNEK
Insanlar kümesinde ß bagintisi “ uzun boylu olma “ bagintisi olsun.
Bu baginti ters simetriktir. Çünkü x , y gibi farkli boyda iki insan alirsak x > y olur ama y > x olmaz.

[Yazar]

Yazılar