Ortalamalar

ÇÖZÜM:

Bölümlendirilmiş dağılımın geometrik ortalamasını hesaplayabilmek için, hangi hesaplama tekniği benimsenirse benimsensin önce sıklık dağılımı oluşturulur. Logaritma yardımıyla çözüm yapılacağına göre terimlerin logaritmaları alınır; bölümlerin yerine terimlerin geçirilmesi ve terimlerin logaritmasının alınması Çizelge 2.1’de gösterilmiştir.
Çizelgenin son sütununda terimlerin logaritmalarından oluşan sıklık dağılımının aritmetik ortalaması hesaplandığında, asıl dağılımın geometrik ortalamasının logaritması belirlenmiş olur:



Log G = ∑nilogxi = 224,72145 = 2,80902
∑ni 80

Çizelge 2.1

Bölümlendirilmiş dağılımın geometrik ortalamasının logaritma

yardımıyla hesaplanması

Bölümler ni xi log xi ni log xi

50 – 150 5 100 2,00000 10,00000
150 – 250 11 200 2,30103 25,31133
250 – 550 18 400 2,60206 46,83708
550 – 1050 26 800 2,90309 75,48034
1050 – 2150 10 1600 3,20412 32,04120
2150 – 4250 10 3200 3,50515 35,05150
80 224,72145

Bu değerin antilogaritması alınarak xi’lerden oluşan dağılımın geometrik ortalaması hesaplanır:

G = antilog 2,80902 = 644,2

Belirlenen geometrik ortalama değeri serinin en küçük teriminden daha büyük, en büyük teriminden daha küçük bir değer olduğuna göre, hesaplamada mantık yanılgısı söz konusu değildir.

2.2.Geometrik Ortalamanın Özellikleri

Geometrik ortalamanın da çeşitli matematiksel özellikleri vardır. Basit serilere ait formüller yardımıyla bunları ispatlayalım.

1. Özellik : Geometrik ortalamanın (n)’inci kuvveti alındığında terimlerin çarpımına ulaşılır.

Aşağıdaki şekilde de ifade edilebilecek geometrik ortalama formülünün her iki
tarafının (n)’inci kuvveti alındığında bu özelliğin gerçekleştiği görülür.

G = ( x1.x2...xn)1/n

Gn = x1.x2...xn

Diğer geometrik ortalama formülünün her iki tarafını n ile çarpmak suretiyle de
aynı sonuca ulaşılabilir. Şöyle ki,

Log G = ∑logxi
n

n.log G = ∑logxi = log x1+log x2+...+log xn
= log (x1.x2...xn)

Gn = x1.x2...xn

2. Özellik : Aritmetik ortalamanın ∑(xi - x) = 0 özelliğine karşılık geometrik ortalamada (x1/G) . (x2/G) ... (xn/G) = 1 ilişkisi vardır.

Diğer bir deyişle, seri terimlerinin geometrik ortalamaya oranlarının çarpımı bire eşittir. Bu eşitlik ∑(xi - x) = 0 ifadesinin aynıdır. Fark ise, işlemlerin logaritmik değerler üzerinden yapılmasıdır.

(x1/G) . (x2/G) ... (xn/G) = 1
(x1 . x2 ... xn) / (G.G...G) = 1
Eşitliğin her iki tarafının logaritmasını alalım.

(log x1+log x2+...+log xn) – (logG + logG +...+ logG) = log1
Buradan ∑ logxi – nlogG = 0 sonucu elde edilir.
logG = (∑ logxi)/n olduğuna göre nlogG = ∑ logxi’dir. Bu sonucu yukarıdaki son eşitliğe uygularsak,
nlogG – nlogG = 0
olur. Bu duruma göre, bu ikinci özelliği " terimlerin logaritmaları ile geometrik ortalamanın logaritması arasındaki cebirsel sapmaların toplamı sıfıra eşittir " şeklinde de ifade edebiliriz.
∑( logxi – logG) = 0

3. Özellik : Seri terimlerin (k)’ninci kuvvetlerinin geometrik ortalamasının (k)’ninci kuvvetine eşittir.

[(x1)k . (x2)k ... (xn)k]1/n = [(x1 . x2 ... xn)k]1/n
= [(x1 . x2 ... xn)1/n]k = G k


[(x1)k . (x2)k ... (xn)k]1/n = G k

4. Özellik : Geometrik ortalama terimlerdeki anlık ve anormal artışlara karşı aritmetik ortalama kadar duyarlı olmayıp, ona oranla daha istikrarlı ve gerçeği daha iyi yansıtan bir ortalama niteliğindedir.
5. Özellik : Serideki terimler arasında sıfır veya negatif işarete sahip bir değer varsa, geometrik ortalamaya başvurulmaz. Çünkü ilk durumda kök içindeki çarpım sıfıra eşit, ikinci durumda ise negatif işaretli sonuç verir.

Bütün bu özellikleri aşağıdaki örnekle açıklayalım.


Örnek :
xi log xi
2 0,301030
3 0,477121
4 0,602060
6 0,778151
2,158362

logG = 2,158362 = 0,5395905 → G = 3,46
4

Geometrik ortalamanın 4.kuvvetini hesaplarsak, bunun terimler çarpımına eşit olduğunu görürüz : 3,464 = 2.3.4.6

Terimlerin logaritmaları ile geometrik ortalamanın logaritması arasındaki cebirsel sapmaların toplamının sıfıra eşit olduğu aşağıda görülmektedir.

log xi - logG
0,3010300 – 0,5395905 = - 0,2385605
0,4771210 – 0,5395905 = - 0,0624695
0,6020600 – 0,5395905 = +0,0624695
0,7781510 – 0,5395905 = +0,2385605
0
Serinin bütün terimlerinin 2.kuvvetlerinin (karelerinin) geometrik ortalamasını hesaplayalım.

xi log (xi2) = 2log xi
2 2 (0,301030)
3 2 (0,477121)
4 2 (0,602060)
6 2 (0,778151)
4,316724

logG = 4,316724 = 1,079181 → G = 12 = 3,462
4
Görüldüğü gibi, seri terimlerinin 2.kuvvetlerinin geometrik ortalaması geometrik ortalamanın 2.kuvvetine eşit çıkmaktadır.
Serinin son terimini 106 olarak değiştirelim.


xi log xi
2 0,301030
3 0,477121
4 0,602060
106 2,025306
115 3,405517

x = 115 = 28,75
4

logG = 3,405517 = 0,851379 → G = 7,10
4
Son terim olarak 6 yerine 106 konulduğunda aritmetik ortalama 3,75’den 28,75’e fırladığı halde, geometrik ortalama bundan çok az etkilenmiş ve 3,46’dan 7,10 düzeyine yükselmiştir. Anlaşılıyor ki, geometrik ortalama aritmetik ortalamadan daha az duyarlı ve daha istikrarlıdır.
Geometrik ortalama özellikle aynı oranda artma veya azalma eğilimi gösteren olaylara ilişkin serilere uygulanır. Bu olaylar arasında öncelikle nüfus belirtilebilir. Öte yandan, aslında simetrik olmadığı halde logaritmaları alındığında simetrik hale dönüşen serilere de geometrik ortalamayı uygulamak gerekir.

2.3. Tartılı Geometrik Ortalama

Terim sayısı n olan bir dizideki tartılar ti simgesiyle gösterildiğinde tartılı geometrik ortalama aşağıdaki gibi hesaplanır:

Gt = ∑ti√∏xiti

Hesaplamayı kolaylaştırmak amacıyla logaritmadan faydalanabilir. Bu durumda ilgili formül aşağıdaki gibi olacaktır:

logGi = ∑tilogxi
∑ti
Sıklık dağılımı için tartılı geometrik ortalama formülüne aşağıda yer verilmiştir: