Ortalamalar

Gt = ∑tini√∏xitini

Logaritma yardımıyla çözüm yapıldığında yukarıdaki formül değişime uğrayacaktır:

logGt = ∑tinilogxi
∑tini
Bölümlendirilmiş dağılım için geometrik ortalama hangi tekniğe göre hesaplanmak istenirse istensin yapılacak ilk işlem sıklık dağılımı oluşturmaktır. Anlaşılacağı gibi hem sıklık dağılımları, hem bölümlendirilmiş dağılımlar için ortak formüller geçerlidir.
Tartılı geometrik ortalama özellikle kısmi dağılımlardan meydana gelmiş bileşik dağılımın geometrik ortalamasının hesaplanılmasında kullanılmaktadır; kısmi dağılımlardan meydana gelen dağılımın geometrik ortalaması, kısmi dağılımlar geometrik ortalamalarının tartılı geometrik ortalamasına eşittir.


2.4. Geometrik Ortalamanın Uygulama Alanı

Geometrik ortalama, terimleri yaklaşık olarak aynı oranda değişen dağılımlar için kullanılır; nüfus, milli gelir, bileşik faize yatırılmış sermaye gibi oldukça değişmez bir oranda artış gösteren dağılımların çeşitli tarihlerdeki değerlerinin ortalaması geometrik usulle belirlenir.
Geometrik ortalama dağılımdaki aşırı büyük değerlere karşı aritmetik ortalama kadar duyarlı değildir; böyle değerler içeren dağılımlar için bütün terimleri hesaba katan bir ortalama olan geometrik ortalama benimsenir.
Diğer taraftan dağılım terimlerinden biri sıfır veya sıfırdan küçük ise geometrik ortalama hesaplanmaz; birinci durumda terimlerin birbirleriyle çarpımı sıfırdır, ikinci durumda ise terimler çarpımının ya kökü yoktur ya da bulunsa bile anlamsızdır.


3. Mod

3.1. Tanım

Bir dağılımda en büyük sıklığa sahip olan terime mod (doruk değer) denir. Dizilerde ve sıklık dağılımlarında bu ortalama kolayca belirlendiği için bölümlendirilmiş dağılımlarda doruk değerin hesaplanılmasıyla ilgili açıklamalara yer verilecektir.

3.2. Eşit Aralıklı Bölümlendirilmiş Dağılımda M**** Hesabı

Doruk değer hesaplanacağı zaman bölümlendirilmiş dağılımda şekil değişikliği yapılmaz; bu durumda en büyük sıklık bir bölüme düşecektir. Sıklığı en büyük olan bu bölüme doruk değer bölümü denir ve doruk değerin (m****), sıklığı fazla olan komşu bölüme doğru kayacağı varsayımı benimsenir.

3.3. M**** Formül Yardımıyla Belirlenmesi

Bölümlendirilmiş dağılımda bölüm aralıklarının eşit olması durumunda en büyük
sıklığa sahip olan bölüm “doruk değer bölümü” olarak tanımlandıktan sonra kesin doruk değeri aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

mod = ℓa + ∆1 . cdd
∆1 + ∆2
veya

mod = ℓü - ∆1 . cdd
∆1 + ∆2

ℓa : doruk değer bölümünün alt sınırı,
ℓü : doruk değer bölümünün üst sınırı,
∆1 : doruk değer bölümünün sıklığı ile bir önceki bölümün sıklığı arasındaki fark,
∆2 : doruk değer bölümünün sıklığı ile bir sonraki bölümün sıklığı arasındaki fark,
cdd : doruk değer bölümünün aralığı.


Örnek :

Aşağıdaki gruplanmış serinin m****u hesaplayalım.

Sınıflar ni
0-2 den az 3
2-4 den az 2
M0 → 4-6 dan az 4
6-8 den az 1

Serideki en yüksek frekans 4 olduğu için, mod sınıfı 4-6 dan az sınıfı olacaktır. Bu sınıfın alt sınırı 4, üst sınırı 6 ve genişliği 2’dir. ∆1= 4-2 =2 ve ∆2= 4-1=3 olduğu ise, mod sınıfı ile ondan bir önceki ve bir sonraki sınıfların frekansları yardımıyla bulunabilir. Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım.

M0 = 4 + 2 . = 4,8
2+3
Bazen bir seride birden fazla maksimum frekans bulunabilir. Dolayısıyla, mod hesabında bu frekanslardan hangisinin dikkate alınacağı konusunda tereddüte düşülebilir. Bilindiği gibi, en yüksek frekanslar iki tane olduğunda seri “çift tepeli seri”, üç tane olduğunda “üç tepeli seri” vb. Şeklinde adlandırılır. Bu gibi durumlarda sınıflanmış seriler gruplanmış seri haline dönştürülür, gruplanmış serilerin ise sınıfları birleştirilir. Bu şekilde sınıflanmış seri yerine bir gruplanmış seri veya daha geniş aralıklı fakat daha az sayıda sınıftan oluşan yeni bir gruplanmış seri elde edilir. Sınıflar birleştirilirken frekanslar da toplanacağı için, en yüksek frekansa sahip sınıf sayısı bu işlem sonunda bire iner.


3.4. Birkaç Tepe Noktalı Dağılımlarda M**** Belirlenmesi

Bazı dağılımlarda terimler birden fazla değer etrafında veya birden fazla bölümde
toplanmağa eğilimlidirler. Böyle durumlarda kesin bir mod (doruk değeri) hesaplanamaz. Terimlerin etrafında toplanma eğilimi gösterdikleri çeşitli değerlerin sıklıkları eşit olmasa bile doruk değerin belirlenmesinde bir kararsızlık belirebilir.
Dağılımlarda birden fazla tepe noktasının ortaya çıkmasının nedenleri çeşitlidir; gözlem sayısının yetersiz kalması, incelenen birimlerin homojen olmaması, bölümlendirilmiş dağılımlarda bölüm sayısının gereğinden fazla tutulması, bazen de incelenen olayın niteliği tek bir doruk değerin hesabını olanaksız yapar. Eğer gözlem sayısının yetersizliği doruk değerin hesaplanılmasına olanak vermiyorsa, çare gözlem sayısını artırmak ve böylece terimlerin bir kıymet etrafında toplanmasını sağlamaktır. Gözlem sayısı artırılamıyor ve incelenen sıklık dağılımı ise, dağılımın bölümlendirilmesine, eldeki dağılım bölümlendirilmiş ise, bölümlerin genişletilmesi yoluna gidilir.
İncelenen yığın homojen birimlerden meydana gelmediği için birden fazla tepe nokta ortaya çıkıyorsa, yığın homojen gruplara ayrılarak her grup için ayrı doruk değer hesaplanır. Yığının homojen olmadığı durumda terimlerin bölümlerde toplanılması veya var olan bölümlerin genişletilmesi doğru olmaz.
Eğer olayın niteliği sebebiyle terimler sadece bir değer etrafında toplanma eğilimi göstermiyorsa doruk değer hesaplanamaz.