|
Ana Sayfa | Kayıt ol | Yardım | Oyun Alanı | Ajanda | Arama | Bugünkü Mesajlar | Forumları Okundu Kabul Et XML | RSS | |
03-11-2007, 03:23 | #1 | ||
Yardımcı Admin Üyelik tarihi: Mar 2006 Yaş: 39
Mesajlar: 23.645
Tecrübe Puanı: 10 |
İKİNCİ DERECE BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER ( QUADRATİK DENKLEMLER) ☺DERECE NEDİR? Bir harfli ifadede en büyük kuvvet bu ifadenin derecesini verir. X2Y3 → 3. derece -7X5 + 6Y4 → 5. derece 2X4Y2 + 3z → 3 bilinmeyenli ve 4. derece -X Y3 - 6x5 → 2 bilinmeyenli ve 5. derece ☺2.DERECE denklem NEDİR? İkinci derece bir bilinmeyenli denklemler ax2 + bx + c = 0 şeklindedir. Burada a , b ve c sayıları reel sayıdır. a sayısı sıfırdan farklı olmalıdır. Çünkü a = 0 olursa denklem bx + c = 0 şekline dönüşür ve birinci derece denklem olur. ☺KÖK NEDİR? Denklemin gösterdiği eşitliği sağlayan sayılara denklemin çözümü ( kök )denir. Örneğin 1 ve 2 sayıları x2 - 3x + 2 = 0 denkleminin kökleridir. Çünkü denklemde x yerine bu sayıları koyarsak : x = 1 için 12 - 3.1 + 2 = 0 x = 2 için 22 - 3.2 + 2 = 0 denklemin gösterdiği eşitlik gerçeklenir. Fakat x = 3 sayısı bu denklemin bir kökü değildir. x = 3 için 32 - 3.3 + 2 = 0 2 ≠ 0 Denklemin gösterdiği eşitlik x = 3 için doğru değildir. Bir denklemin en fazla derecesi kadar reel kökü olabilir. Bunun sonucu olarak ikinci derece denklemin en fazla 2 tane reel kökü vardır. ☺KÖKLERİ NASIL BULURUZ? 1.Denklem çarpanlarına ayrılabiliyorsa her bir çarpanın kökünü buluruz. x - 3 = 0 x - 1 = 0 x = 3 x = 1 x2 - 4x + 3 = 0 x 1 = x x + 3 =3x 4x Örneğin x2 - 4x + 3 = 0 denkleminin köklerini bulalım. (x - 1 )(x - 3) = 0 Denklemin kökleri x = 1 ve x = 3 dür. Çözüm kümesini Ç = { 1 , 3 } şeklinde yazarız. 2x2 + 5x - 3 = (2x -1)(x + 3) 2x -1 = -x x 3 = 6x + 5x Çapraz çarpımların toplamı orta terimi vermelidir. 2x - 1 = 0 x = 1/2 x = -3 (2x - 1 )(x + 3) = 0 Örnek : 2x2 + 5x - 3 = 0 denkleminin köklerini bulalım. x + 3 = 0 Denklemin kökleri x = 1/2 ve x = - 3 dür. Çözüm kümesini Ç = { 1/2 , -3 } şeklinde yazarız. y4 - y2 + 1 = ( y2 - 1) ( y2 - 1) = ( y2 - 1)2 y2 -1 = -y2 + -2y2 Çapraz çarpımların toplamı orta terimi vermelidir. ( y2 – 1 )2 Örnek : y4 - y2 + 1 = 0 denkleminin köklerini bulalım. y2 - 1= 0 y2 = 1 y2 = 1 için y = ± 1 olur. Denklemin kökleri y = 1 ve y = -1 dir. Çözüm kümesini Ç = { -1 , 1 } şeklinde yazarız. ☺ÖDEVLER : Aşağıdaki denklemlerin köklerini çarpanlara ayırarak bulunuz. 1. x2 - 5x + 6 = 0 2. - x4 + 4x - 4 = 0 x2 - 5x + 4 = 0 x6 - 2x3 + 1 = 0 x2 + x - 6 = 0 y2 - 2yx + x2 = 0 2x2 - 6x - 20 = 0 2y2 + y - 15 = 0 x2 - 9 = 0 6x2 - 7x + 2 = 0 AyrıCa denklemi Tam KAREYE tamamlayarak kökleri bulmak da MÜMKÜNDÜR. ☺Quadratik Denklemler : Tam kare metodu Tam kare Nedir? · ·········1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , ... şeklindeki sayılar tam kare sayılardır. · ·········( x - 3 )2 , x2 , ( x + y )2 ve 4x2 şeklindeki ifadeler tam kare ifadelerdir. Tam kare ifadelerin köklerini bulmak oldukça kolaydır. Örneğin ( 3x – 1 )2 = 9 denklemini çözelim. Her iki tarafın karekökünü alırsak ( 3x – 1 ) = ± 3 olur. i. 3x – 1 = 3 yazarsak 3x = 4 x = 4/3 birinci köktür. ii. 3x – 1 = - 3 yazarsak 3x = - 3 + 1 = -2 x = -2 / 3 ikinci köktür. Verilen bir ifadeyi tam kareye tamamlamak için bazı cebirsel işlemler yaparız. Örnek x2 – 8x + 7 = 0 denklemini çözelim. x2 – 8x + 7 = 0 denkleminin sabit sayısı 16 olsaydı denklem x2 – 8x + 16 = ( x – 4 )2 = 0 şeklinde tam kare olurdu. Bu nedenle denklemi tam kareye tamamlamak için sabit sayısına 9 ekleyip çıkarırız. x2 - 8x + 7 + 9 – 9 = ( x2 – 8x + 7 + 9 ) - 9 = ( x – 4 )2 – 9 = 0 ( x – 4 )2 = 9 x – 4 = ± 3 i. x – 4 = 3 yazarsak x = 7 birinci köktür. ii. x – 4 = - 3 yazarsak x = - 3 + 4 = 1 x = 1 ikinci köktür. Bu işlemi kural haline getirelim : KURAL : x2 + bx + c = 0 denklemine ( b/2 ) 2 SAYISINI EKLEYİP ÇIKARIRSAK DENKLEM TAM KARE OLUR. ÖRNEK : 2x2 + 8x + 2 = 0 denklemini çözelim. ÇÖZÜM : Önce denklemi 2 ye bölelim. x2 + 4x + 1 = 0 b = 4 ve b/2 = 2 olur. ( b/2 ) 2 = 4 olur. Denkleme 4 ekleyip 4 çıkaralım. x2 + 4x + 1 + 4 - 4 = 0 Denklemi düzenlersek ( x2 + 4x + 4 ) - 3 = 0 ( x + 2 )2 - 3 = 0 olur. ( x + 2 )2 = 3 yazıp karekök alırız. x + 2 = ±Ö3 bulunur. x = -2 ±Ö3 köklerdir. ÖDEVSİZ OLURMU? Aşağıdaki denklemleri tam kareye dönüştürüp çözünüz. x2 + 4x + 2 = 0 4x2 + 4x + 4 = 0 x2 + x + 2 = 0 x2 - 4x + 2 = 0 2x2 + 2x - 4 = 0 ☺☺Quadratic Denklemler : Diskriminant ile Çözüm olduğundan denklemi önce a ile böleriz. Sonra, tam kareye tamamlamak için ekleyip çıkarırız. Her iki yanın kare kökünü alırsak, veya Bu yazılışa quadratik çözüm denir. Bu çözümleri ve şeklinde ayrı da yazılabilir. ÖRNEK : ÇÖZÜM : a = 2, b = -3 ve ☺☺Köklerin Analitik İncelemesi Quadratik denklemlerin üç durumunu inceleyeceğiz. 1.yani iki eşit kök varsa denklem : ( x – A )2 = 0 şekline gireceği için fonksiyonunun işaretini a nın işareti belirler. a < 0 a > 0 2 . Yani iki kök varsa bu durumda denklemin grafiği x eksenini iki noktada keser. Bu durumda fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekillerden biri gibi olur. Kökler arası işareti a nın tersi olur. a < 0 a > 0 3 . Yani denklemin reel kökü yoksa fonksiyonunun işareti a nın işareti ile aynıdır. a < 0 a > 0
__________________ | ||
|
Bu konuyu arkadaşlarınızla paylaşın |
Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir) | |
Seçenekler | |
Stil | |
| |