Ortalamalar

ORTALAMALAR

1.Aritmetik Ortalama

1.1.Aritmetik Ortalamanın Tanımı

Bir istatistiksel dağılımın aritmetik ortalaması dağılımdaki terimler toplamının terim sayısına (sıklığına) oranıdır; söz konusu ortalama için x simgesi kullanılacaktır.
Dizilerde aritmetik ortalamanın hesabında aşağıdaki formül kullanılır :
n
∑ xi
x = i=1 (1-1)
n

1.2.Bölümlendirilmemiş Sıklık Dağılımının Aritmetik Ortalaması

Sıklık dağılımlarında aritmetik ortalama hesabında kullanılan formül aşağıdaki gibidir:

k
∑ xini
x = i=1 (1-2)
k
∑ ni
i=1

k
∑ xіni yazılımı, sıklık dağılımlarında terimlerin her birinin sıklıklarıyla çarpımlarının
i=1
toplamını göstermektedir. Toplam eğer dağılımdaki bütün terimler için alınıyorsa (∑) simgesindeki indislere yer verilmez.

-Aşağıdaki çizelgede incelenen 100 ailenin evlerinin oda sayısına göre dağılımı gösterilmiştir.

Oda sayısı Aile sayısı
1 15
2 18
3 25
4 20
5 12
6 6

1. Söz konusu sıklık dağılımının terimlerini, sıklıklarını, sıklıklar toplamı ile terimler toplamını simgelere yer vererek belirleyiniz.
2. Sıklık dağılımının aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

ÇÖZÜM:

Aileler evlerinin oda sayısı niteliğine göre incelendiği için, bu değişkenin değerleri sıklık dağılımının terimleri, aile sayısı ise söz konusu terimlerin sıklıkları durumundadır. Terim sayısı, yani sıklıklar toplamı ∑ ni =100’dür. Terimler toplamının belirlenebilmesi için her terimin hizasındaki sıklıkla çarpılıp, söz konusu çarpımlar toplamının belirlenmesi gerekir; bu amaçla sıklık dağılımında kesinlikle “xini ” sütunu açılır.
Açıklamaların ışığında sıklık dağılımı yeniden aşağıdaki gibi yazılacaktır.

xi ni xini
1 15 15
2 18 36
3 25 75
4 20 80
5 12 60
6 6 36
7 4 28
100 330

Sıklık dağılımının terimler toplamı, yani ∑ xini= 330’dur. Aritmetik ortalama aşağıdaki gibi belirlenir:

x = ∑xini = 330 = 3,3
∑ni 100

1.3. Bölümlendirilmiş Sıklık Dağılımının Aritmetik Ortalaması

Bölümlendirilmiş dağılımdabelirli sınırlar arasında kalan terimlerin değerleri
hakkında bilgi yoktur. Bu durumda böyle bir dağılımın ortalamasını hesaplayabilmek için her bölümdeki terimlerin aldığı kıymetler için bir varsayım ileri sürmek gerekir; genellikle bir bölümün içinde bulunan kıymetlerin, alt ve üst sınırların aritmetik ortalamasına eşit olduğu varsayılır. Benimsenen bu varsayıma dayanak bölümlendirilmiş dağılım sıklık dağılımına dönüştürülür ve (1-2) numaralı formül kullanılarak aritmetik ortalaması hesaplanır.

-Çizelge 1.1’de yer alan verilere dayanarak 200 ailenin toplam haftalık gelirini, sonra da haftalık ortalama gelirini, hesaplayınız. Gerek toplam haftalık gelirin, gerekse ortalama haftalık gelirin hangi varsayıma göre belirlendiği açıklayınız; hesaplamayı kolaylaştıracak çizelge düzenlemesini gerçekleştiriniz.

ÇÖZÜM:

Çizelge 1.1

200 ailenin haftalık gelirlerinin dağılımı

Haftalık gelir Aile sayısı xi xini

bölümleri
Bin TL
25.000 – 30.000 20 27.500 550.000

30.000 – 40.000 20 35.000 700.000
40.000 – 50.000 68 45.000 3.060.000
50.000 – 60.000 57 55.000 3.135.000
60.000 – 85.000 20 72.500 1.450.000
85.000 – 100.000 15 92.500 1.387.500
200 10.282.500

Çizelge 1.1’deki bölümlendirilmiş dağılımın bölümlerin alt ve üst sınırlarının aritmetik ortalaması hesaplanarak sıklık dağılımına dönüştürülür: (25.000 + 30.000)/2 = 27.500, (30.000 + 40.000)/2 = 35.000, (85.000 + 100.000)/2 = 92.500. Bölüm aritmetik ortalamaları olan bu değerler için xi simgesi kullanılacaktır; söz konusu değerler yukarıdaki çizelgenin üçüncü sütununda gösterilmiştir.
Toplam haftalık gelir, bölüm ortalama değerleri ile sıklıkların çarpımlarının toplamına eşittir : ∑xini
Bu durumda 200 ailenin toplam haftalık geliri ∑xini = 10.282.500 bin TL’dir.

Haftalık gelir ortalamasını belirlemek için aritmetik ortalamayı hesaplamak gerekir:

x = ∑xini = 10.282.500 = 51.412,5 bin TL
∑ni 200