Ortalamalar

X ve U değişkenleri arasında varolan ilişkiye dayanarak aritmetik ortalamanın kısa yoldan hesaplanışında kullanılacak olan formül diziler için aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.

uic= xi – x0 x

∑xi – nx0

c∑ ui = ∑ xi - n xo
n n n

cu = x- x0

x = cu + x0 (1-3)

(1-3) numaralı formülün çıkarılışında diziden faydalanılmakla beraber, sıklık ve bölümlendirilmiş dağılımların aritmetik ortalamalarının “kısa yoldan” hesaplanılışında aynı formül kullanılır.

- Aşağıda gösterilmiş olan bölümlendirilmiş dağılımın aritmetik ortalamasını “kısa yoldan” hesaplayınız; söz konusu hesaplama tekniğinin aritmetik ortalamanın hangi özelliğine dayandırıldığını açıklayınız.

Bölümler (TL) ni xi xi – x0 ui uini
1000-1100 7 1050 -300 -3 -21
1100-1200 13 1150 -200 -2 -26
1200-1300 25 1250 -100 -1 -25
1300-1400 35 1350 0 0 -
1400-1500 15 1450 100 1 15
1500-1600 5 1550 200 2 -10
100 -47

ÇÖZÜM:

(1) Bölümlendirilmiş bir dağılımın aritmetik ortalamasının hesabı söz konusu ise, hesaplama tekniği ne olursa olsun, bölümlerin yerine bölüm ortaları alınır, çizelgede xi’ler için yeni bir sütun açılır;
(2) Bölümlendirilmiş dağılım sıklık dağılımına dönüştürüldükten sonra terimler arasından en büyük sıklığa sahip olan geçici ortalama olarak seçilir; verilen örnekte en büyük sıklık 35 olduğuna göre, geçici ortalama x0 = 1350,-TL olacaktır;
(3) xi terimlerinin her birinin x0’dan olan cebirsel sapması belirlenir, çizelgede yeni bir sütunda gösterilir;
(4) Belirlenen sapmalar bölüm aralığına oranlanır, örneğimizde bölüm aralığı c = 100,-TL dir ve söz konusu işlem sonucunda ui terimleri elde edilir. Bölümlendirilmiş bir dağılımın bölüm orta noktaları olan xi lerin yerine geçirilen ui terimleri aslında tek aşamada belirlenir, xi - x0 sapmalarına yer verilmez.
(5) Küçültülmüş ui terimlerinin aritmetik ortalaması u hesaplanır. Bölümlerin yerine geçirilen xi lerin küçültülmüş değerleri olan ui’ler, xi lerin sıklıklarına sahiptir. Başka bir anlatımla ui terimleri bir sıklık dağılımının terimleridir; bu terimlerin aritmetik ortalaması olan u aşağıdaki formülle hesaplanır:

u = ∑ uini
∑ ni

∑ uini çizelgenin son sütununda (-47) olarak belirlenmiştir:

u = -47 = -0,47
100
(6) Küçültülmüşterimlerin ortalaması bölüm aralığı (c) ile çarpılır:

c u = 100 (-0,47) = -47

(7) c uçarpımına x0 geçici ortalaması ilave edilerek xi’ler dağılımının aritmetik ortalaması belirlenir :

x = cu + x0 = -47 + 1350 = 1303,-TL

1303,-TL olarak hesaplanan aritmetik ortalama görüldüğü gibi dağılımın en küçük
terimi olan 100,-TL’den büyük, dağılımın en büyük terimi olan 1600,TL’den küçüktür; böylece merkezi eğilim ölçüleri için geçerli temel özellik bu ortalamada da gözlemlenmektedir.
1303,-TL değerindeki aritmetik ortalama küçültülmüş ui terimleri yardımıyla, yani “kısa yoldan” hesaplanışı, terimlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamının sıfıra eşit olmasına dayandırılmaktadır.

1.6. Aritmetik Ortalamanın Fayda ve Sakıncaları

Aritmetik ortalama kavram olarak basittir, hesaplanılması kolay olduğu gibi cebirsel işlemlere de elverişlidir. Bu bakımdan en çok kullanılan ortalamadır.
Aritmetik ortalama dağılımdaki terimlerden herhangi birinde meydana gelen kıymet değişikliğinden etkilenir; bu özellik aritmetik ortalama için bir üstünlük olduğu kadar, sakıncalıdır aynı zamanda. Dağılımda terim sayısının az olması durumunda olağanüstü küçük veya büyük terimler aritmetik ortalamanın değerini etkiler ve simgeleyici olmasını engeller.
Diğer taraftan dağılımın alt ve/veya üst sınırının belirsiz olması durumunda aritmetik
ortalamayı hesaplamak olanaksızdır; belirsiz olan sınırlar için yapılacak kestirimler, ortalamanın kesin değerinin hesaplanılmasına olanak vermeyecektir. Bu bakımdan sözü edilen iki durumda dağılım terimlerini normal büyüklüğünün belirlenmesinde aritmetik ortalama kullanılmamalıdır.

2.Geometrik Ortalama

2.1.Tanımlar ve Formüller

Daha önce verilen ve aşağıda tekrar yer alan (1-4) numaralı geometrik ortalama formülünde görüldüğü gibi bu ortalama dağılımdaki terimler çarpımının terim sayısı derecesinden köküne eşittir:

G = n√∏xi (1-4)

Geometrik ortalama formülünde yer alan (∏) simgesi 3,1416 sabit sayısı olmayıp terimlerin birbirleriyle çarpımının alınacağını göstermektedir. Dağılımda terimlerin sayısı fazla olduğunda geometrik ortalamanın hesaplanılmasında logaritmadan faydalanılır:

Log G = log n√∏xi
Log G = 1 log∏xi
n
Log G = 1 ∑logxi = ∑logxi (1-5)
n n
Sıklık dağılımlarında geometrik ortalama formülü

G = ∑ni√∏xini (1-6)

şeklindedir; logaritması alınınca aşağıdaki eşitlik elde edilir:

Log G = ∑nilogxi (1-7)
∑ni

Bölümlendirilmiş dağılımın geometrik ortalamasını hesaplayabilmek için bütün duyarlı ortalamaların belirlenmesinde olduğu gibi bölümlerin yerine bölüm ortaları alınır, böylece bir sıklık dağılımı meydana getirilmiş olur. Bundan sonra geometrik ortalama (1-6) veya (1-7) numaralı formüller yardımıyla hesaplanır.

- Aşağıdaki bölümlendirilmiş dağılımın geometrik ortalamasını logaritma yardımıyla hesaplayınız.

Bölümler ni
50 – 150 5
150 – 250 11
250 – 550 18
550 – 1050 26
1050 – 2150 10
2150 – 4250 10
80